专题08（圆锥曲线中的面积问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题八 圆锥曲线中的面积问题 圆锥曲线面积问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 自我检测 1、 解答题 1. 一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周不动时，N也不动，M处的笔尖画出的曲线记为以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． Ⅰ求曲线C的方程； Ⅱ设动直线l与两定直线和分别交于两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 【答案】解：Ⅰ设点，，， 依题意，且， 所以， 且 即且． 由于当点D不动时，点N也不动， 所以t不恒等于0， 于是， 故，， 代入， 可得， 即所求的曲线C的方程为． Ⅱ当直线l的斜率不存在时， 直线l为或， 都有． 当直线l的斜率存在时， 设直线， 由消去y， 可得． 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点， 所以， 即． 又由 可得； 同理可得． 由原点O到直线PQ的距离为和， 可得 ． 将代入得，． 当时，； 当时，． 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号． 所以当时，的最小值为8． 综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时， 的面积取得最小值8． 【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． Ⅰ根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；  Ⅱ联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．  2. 已知椭圆的离心率为，其长轴长为． 求椭圆E的方程； 直线交E于两点，直线交E于两点，若求四边形ABCD的面积． 【答案】解：由已知得：， 解得． 所以椭圆E的方程为． 设，则 联立，则， ， 同理可得， 且B到直线的距离． 所以， 又， 所以． 【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是较难题． 由题意得，可得a、b，从而得出椭圆方程； 将直线与椭圆联立，得出，再得出B到直线的距离d，由，计算可得结果． 3. 已知椭圆方程为． 设椭圆的左右焦点分别为、，点P在椭圆上运动，求的取值范围； 设直线l和圆相切，和椭圆交于A、B两点，O为原点，线段OA、OB分别和圆交于C、D两点，设、的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】解：由已知，，设， 则． 结合，得， 故． 当直线l的斜率不存在时，其方程为， 由对称性，不妨设，此时，故． 若直线l的斜率存在，设其方程为， 由已知可得，则， 设、，将直线l与椭圆方程联立， 得， 由韦达定理得，． 结合及， 可知 ． 将根与系数的关系代入整理得： ， 结合，得． 设， 则 ． 的取值范围是． 【解析】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题． 求出焦点坐标，设，求出向量的数量积的表达式，然后求解范围即可． 当直线l的斜率不存在时，其方程为，然后求解比值； 若直线l的斜率存在，设其方程为，利用点到直线的距离推出，设、，将直线l与椭圆方程联立，得，利用韦达定理得，，然后推出，设，，然后求解的取值范围． 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D． 求椭圆的标准方程 若，求线段PA的长 试问：四边形ABCD的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】解：由题意得：，解得， 把点Q的坐标代入椭圆C的方程， 得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为：． 解：因为， 则得，即， 又因为，所以直线AP的方程为， 由，解得舍去或，即得， 所以， 即线段AP长为． 由题知直线PB的斜率存在， 可设直线PB：， 令得， 由，得， 解得或， 所以，即， 于是直线AP的方程为， 即， 令，得即， 所以四边形ABCD的面积等于 ， 即四边形ABCD的面积为定值． 【解析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，解题中需要一定的计算能力，题目较难． 由题意得：，，解得a，b，进而可得椭圆的标准方程． 根据题意可得，推出，写出直线AP的方程，联立直线AP方程与椭圆的方程解得交点P，由两点之间的距离公式可得线段AP长． 设直线PB：，，推出得D坐标，联立直线PB与椭圆的方程，消掉y得关于x的一元二次方程，解得