专题08 椭圆中的定点、定值问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。 例1、（2017盐城高三三模18）已知 、 分别是椭圆 的左顶点、右焦点，点 为椭圆 上一动点，当 轴时， . （1）求椭圆 的离心率； （2）若椭圆 存在点 ，使得四边形 是平行四边形（点 在第一象限），求直线 与 的斜率之积； （3）记圆 为椭圆 的“关联圆”. 若 ，过点 作椭圆 的“关联圆”的两条切线，切点为 、 ，直线 的横、纵截距分别为 、 ，求证： 为定值.学科*网 解：（1）由 轴，知 ，代入椭圆 的方程， 得 ，解得 . 又 ，所以 ，解得 . （2）因为四边形 是平行四边形，所以 且 轴， 所以 ，代入椭圆 的方程，解得 ， 因为点 在第一象限，所以 ，同理可得 ， 所以 ， 由（1）知 ，得 ，所以 . （3）由（1）知 ，又 ，解得 ，所以椭圆 方程为 ， 圆 的方程为 ①. 连接 ，由题意可知， ， ， 所以四边形 的外接圆是以 为直径的圆， 设 ，则四边形 的外接圆方程为 ， 即 　　②. （注：以 为直径的圆的方程可以直接写出 ） 由①－②，得直线 的方程为 ， 令 ，则 ；令 ，则 . 所以 ， 因为点 在椭圆 上，所以 ，所以 . 例2、（2018苏锡常镇高三二模）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为1，点 ， ， 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 的直线 交椭圆于点 ，交 轴于点 ，直线 与直线 交于点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若 ，求直线 的方程； （3）求证： 为定值． 解：（1）由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为1. 得 解得 所以，椭圆的标准方程为 .