高考二轮复习微专题---阿波罗尼斯圆及其应用

高考微专题——阿波罗尼斯圆及其应用 在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。 一、背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一. 求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆. 如图，点 为两定点，动点 满足 ， 则 时，动点 的轨迹为直线；当 时，动点 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设 ．以 中点为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 EMBED Equation.3 ． 又设 ，则由 得: ， 两边平方并化简整理得: ， 当 时， ，轨迹为线段 的垂直平分线； 当 时， ，轨迹为以点 为圆心，以 长为半径的圆． 二、问题呈现 例1、 （2015湖北理14）如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （B在A的上方），且 ． （Ⅰ）圆 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆 相交于 两点，下列三个结论：① ；② ；③ ． 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号） 解析：（Ⅰ）易知半径 ，所以圆的方程为 ； （Ⅱ）方法一： 因为圆心 ， 又因为 ，且 为 中点，所以 因为 在圆 上，可设 ， 所以： 所以： , 同理： ，所以： EMBED Equation.3 ，①正确； , ②正确 ，③正确 所以：①、②、③正确 方法一可以改进为： 设 为圆C上任意一点，则有： ，①正确； 同理 ，②正确； ，③正确. 这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆 的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆 正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 方法二: 如上图所示, 在（Ⅰ）的基础上易得 ， ， ， 于是 ， ，所以 ， ， ，所以 ， 所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为 的阿波罗尼斯圆, 故： EMBED Equation