平面向量基本题型梳理-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修二期末备考03

永年二中高一数学必修二期末备考03 平面向量十大基本题型梳理 题型一、向量的线性运算 1．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为四边形是矩形，且E为CD中点，所以，且且， 所以. 2．在中，点在边上，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则计算即可. 【详解】因为为的中点，且， 所以. 3．如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法的三角形法则，将 表示为 ，结合已知条件求出 和 关于基底向量 的表达式，代入计算即可. 【详解】由题意可知，在梯形中，，又因为，，， 所以 ，即，则，，又因为的中点， 则，因为线段的四等分点（靠近点 ）， 则。 因为为的中点，所以，所以 . 4．如图，在梯形中与交于点则__________． 【答案】 【详解】因为，，，所以. 题型二、向量共线的运算 1．已知向量，若与平行，则（    ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【详解】已知向量，所以，若与平行，则，解得：. 2．已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以，由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此，又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确；对于C，若共线，则存在实数使得，所以，由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误；对于D，，若共线，则存在实数使得，所以，由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 3．已知点，，，，若，则实数的值为________ 【答案】5 【分析】先求出与的坐标，再利用平面向量共线的充要条件列方程即可求得. 【详解】， .由可得 ， 解得. 4．已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得，所以点的坐标为． 题型三、向量的垂直的运算 1．已知向量满足与的夹角为若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，.若，则，即， 所以，解得. 2．已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______. 【答案】/ 【详解】由题意可得，，因为和垂直，所以， 即，化简得，解得. 3．已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】求出的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解. 【详解】已知，，可得 . 因为，所以，即，整理得，解得. 题型四、向量的数量积 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，，所以，故B正确. 2．已知两个单位向量满足则___________ 【答案】/ 【分析】将两边平方，结合数量积运算公式得到 【详解】因为，所以，即，即， 解得. 3．已知中，，，，，为外心，则_________. 【答案】 【详解】取中点，因为是外心，故，对分解得， 因此，由得，又， 故，同理可得， 所以. 4．已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以分别为的三等分点， 因此，， 所以 . 题型五、向量的夹角 1．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，，代入数据得，则夹角为 2．已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为,所以，所以，因为，所以. 3．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，和，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】，两边平方得 ，即，，， ， ，两边平方得， 即，故，， ，两边平方得， 即，故，， 故. 4．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ， 由夹角为钝角得，即，得. 若与反向共线，则满足，解得， 此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除.综上，的取值范围是. 5．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为______ 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量夹角公式求解即可. 【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系， 则，∴，∵即为的夹角，∴，∴的余弦值为. 题型六、向量的模 1．已知向量，，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则，对平方后求解即可. 【详解】因为，，且，所以， 所以. 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知向量差的坐标求出其模的平方，再利用向量数量积的运算性质求得两向量的数量积，最后计算目标向量模的平方后开方即可得到结果. 【详解】因为，所以又，所以 ，解得，所以， 所以. 3．若向量，满足，，，则（   ） A． B． C．13 D．52 【答案】B 【详解】两边同时平方得，则， 所以，，所以. 4．如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】如图：过作于点，以为原点，以所在直线分别为轴建立直角坐标系，则，直线的方程为.设,, ，， 即，当或时取得最大值；当时取得最小值.所以的取值范围是. 题型七、投影向量 1．已知中，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知为等腰三角形，设 ,解得，故， 在上的投影， 在上的投影向量为． 2．已知向量，，且在上的投影向量为，则______． 【答案】 【详解】由，得 ..所以在上的投影向量为， 所以， 化简得， 解得. 3．已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】 【分析】先通过向量减法运算求出向量的坐标，再利用平面向量投影向量的计算公式求解即可. 【详解】由，及，将 代入上式，计算得：，则， ，由在方向上的投影向量为，代入上述结果得 ，即向量在向量方向上的投影向量为. 题型八、平面向量基本定理 1．在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由中线与中点关系，推导出，因三点共线，所以，由、，对比两组基底系数，消去中间参数，化简算出. 【详解】如图： 由题意可得．因为E是AD的中点，所以．因为F，E，G三点共线，所以，因为，所以，所以消去x，可得． 2．已知，在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则的值为 _____. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以，又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 3．在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【详解】连接，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，又因为三点共线，所以，所以． 题型九、“极化恒等式”的运算 1、在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 【解析】由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点．设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得 ＝||2－||2＝||2－，又||2＝，即||＝，故＝＝＝＝，∴()min＝＝－4，()max＝＝6．故的取值范围是[－4，6]．故选D． 2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________． 【解析】设＝a，＝b，＝||2－||2＝9b2－a2＝4，＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，所以＝||2－||2＝4b2－a2＝． 3、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________． 【解析】∵＝||2－||2＝－7，∴||2＝16，∴＝||2－||2＝25－16＝9． 题型十、综合性问题 1．如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）证明：因为点为的中点，所以，因为， 所以，所以． （2）设，由，得， 即，即， 因为不共线，所以，解得． （3）因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设， 则 因为，所以，所以的取值范围是． 2．已知向量． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)6；(2) 【分析】（1）利用数量积的运算律计算即可； （2）利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）已知向量 所以，，解得， 所以 （2）因为， 又因为．所以，设与的夹角为，且，所以，得，即与的夹角为. 3．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值； (3)若向量与相互平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算两向量的点积，再代入公式即可； （2）根据两向量垂直列式求解即可； （3）根据两向量平行列式求解即可. 【详解】（1）由题意得， . （2）向量与相互垂直，，即，解得. （3）向量与相互平行，存在实数使得， 又不共线，，解得，即. 4．已知为坐标原点，.点满足（为实数），. (1)若，求向量； (2)记（1）中与的夹角为，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即得； （2）由向量的夹角公式求解即得； （3）由向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】（1）若，，， 整理得，所以. （2）,,,,, 则. （3），所以， 由解得， 即，由可得，解得. 5．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【详解】（1）如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，，则，，，，，.所以，又，，所以. 又，所以，，所以. （2）因为，，由，又，所以.故. （3）设，，则，，所以， 当时，；当或时，.所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二期末备考03 平面向量十大基本题型梳理 题型一、向量的线性运算 1．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，点在边上，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中与交于点则__________． 题型二、向量共线的运算 1．已知向量，若与平行，则（    ） A．13 B． C．11 D． 2．已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．已知点，，，，若，则实数的值为________ 4．已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 题型三、向量的垂直的运算 1．已知向量满足与的夹角为若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______. 3．已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 题型四、向量的数量积 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知两个单位向量满足则___________ 3．已知中，，，，，为外心，则_________. 4．已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型五、向量的夹角 1．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______. 5．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为______ 题型六、向量的模 1．已知向量，，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 3．若向量，满足，，，则（   ） A． B． C．13 D．52 4．如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 题型七、投影向量 1．已知中，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且在上的投影向量为，则______． 3．已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 题型八、平面向量基本定理 1．在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则的值为 _____. 3．在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 题型九、“极化恒等式”的运算 1、在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________． 3、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________． 题型十、综合性问题 1．如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 2．已知向量． (1)求； (2)求与的夹角． 3．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数k的值； (3)若向量与相互平行，求实数k的值. 4．已知为坐标原点，.点满足（为实数），. (1)若，求向量； (2)记（1）中与的夹角为，求； (3)若，求的值. 5．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $