一题学懂极值点偏移5大套路

一题弄懂极值点偏移5大套路 已知 ， ．若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： （ 为自然对数的底数）． 解法一：齐次构造通解偏移套路 证法1：欲证 ，需证 ． 若 有两个极值点 ， ，即函数 有两个零点．又 ，所以， ， 是方程 的两个不同实根． 于是，有 ，解得 ． 另一方面，由 ，得 ， 从而可得， ． 于是， ． 又 ，设 ，则 ．因此， ， ． 要证 ，即证： ， ．即：当 时，有 ．设函数 ， ，则 ， 所以， 为 上的增函数．注意到， ，因此， ． 于是，当 时，有 ．所以，有 成立， ． 解法二 变换函数能妙解 证法2：欲证 ，需证 ．若 有两个极值点 ， ，即函数 有两个零点．又 ，所以， ， 是方程 的两个不同实根．显然 ，否则，函数 为单调函数，不符合题意． 由 ， 即只需证明 即可．即只需证明 ． 设 ， ，故 在 ，即 ，故 ． 由于 ，故 在 ， ． 设 ，令 ，则 ， 又因为 ， ， 在 ，故有 ，即 ．原命题得证． 解法三 构造函数现实力 证法3：由 ， 是方程 的两个不同实根得 ，令 ， ，由于 ，因此， 在 ， ． 设 ，需证明 ，只需证明 ，只需证明 ，即 ，即 ． 即 ， ，故 在 ，故 ，即 ．令 ，则 ，因为 ， ， 在 ，所以 ，即 ． 解法四 巧引变量（一） 证法4：设 ， ，则由 得 ，设 ，则 ， ．欲证 ，需证 ．即只需证明 ，即 ．设 ， ， ，故 在 ，故 ，故 在 ，因此 ，命题得证． 解法五 巧引变量（二） 证法5：设 ， ，则由 得 ，设 ，则 ， ．欲证 ，需证 ，即只需证明 ，即 ，设 ， ，故 在 ，因此 ，命题得证． $$