（人教版）九年级上学期数学备课资料：21.2 解一元二次方程 (4份打包)

第二十一章 21.2.1配方法 知识点1：用直接开平方法解一元二次方程  如果一个一元二次方程的左边是一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负数,就可以用直接开平方法求解.[来源:学_科_网] 使用直接开平方法的前提条件是方程形如x2=b和(x-a)2=b(b≥0). 直接开平方法解出的一元二次方程的解应该是两个,如果只有一个数值,则记作这个一元二次方程有两个相等的实数根.[来源:Zxxk.Com] 直接开平方法的适用范围和理论依据: (1)直接开平方法适合解形如x2=b和(x-a)2=b的方程,其中b≥0,因为若b<0,则方程在实数范围内无解. (2)直接开平方的实质是把一个一元二次方程降次为两个一元一次方程来求方程的根,因此要注意方程应该有两个根. 知识点2：配方法  1. 利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2把一元二次方程转化成(x±a)2(b≥0)的形式,再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫作配方法. 2. 配方法 运用配方法解一元二次方程时,需要先把二次项系数化为1,在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方. 3. 利用配方法解一元二次方程的步骤 (1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;[来源:Z,xx,k.Com] (2)把二次项系数化为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式,右边是常数; (4)如果方程的右边是一个非负数,就用直接开平方法求出它的解;如果方程的右边是一个负数,那么这个方程无解. 也可以利用完全平方公式把一元二次方程化成(x±a)2-b=0(b≥0)的形式,再利用因式分解法求解. 考点1：用直接开平方法解一元二次方程 【例1】 用直接开平方法解下列方程:[来源:Zxxk.Com] (1)9x2-25=0;(2)2( x-3)2=12. 解:(1)移项,得9x2=25, 方程两边同除以9,得x2=, 方程两边开平方,得x=±, 即x1=,x2=-. (2)方程两边同除以2,得(x-3)2=6, 方程两边开平方,得x-3=±, 整理,得x=±+3. 解得x1=,x2=. 点拨:把方程经过整理变为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,再对方程的两边直接开平方. 考点2：配方法解一元二次方程 【例2】 用配方法解方程:(2x-1)(x+3)=5. 解:整理,得2x2+5x-8=0. 二次项系数化为1,移项,得x2+x=4, 配方,得x2+x+（）2=4+（）2,即（x+）2=. 由此可得x+=±, 即x1=,x2=.[来源:Zxxk.Com] 点拨:按照配方法解一元二次方程的步骤逐步解答即可. $$ 第二十一章 21.2.2公式法 知识点1：一元二次方程根的判别式及根的情况判别  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来确定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac. 一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0). 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;[来源:学科网ZXXK] 当Δ<0时,方程没有实数根. 反过来,有 当方程有两个不相等的实数根时,Δ>0; 当方程有两个相等的实数根时,Δ=0; 当方程没有实数根时,Δ<0. 归纳整理:一元二次方程根的判别式的应用:①不解方程判别根的情况;②根据方程解的情况确定系数的取值范围. 知识点2：用公式法解一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式: x1,2= (b2-4ac≥0) 可以利用一元二次方程的求根公式,由一元二次方程中系数a,b,c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法. 也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的. 方法:公式法解一元二次方程的一般步骤: [来源:学&科&网] 适用范围:求根公式只适用于解一元二次方程,只有确定方程是一元二次方程后,才能应用公式求方程的解. 考点1：利用判别式判断一元二次方程的根的情况 【例1】 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x=4;(2)ax2+bx=0(a≠0). 解:(1)2x2+3x-4=0, a=2,b=3,c=-4, ∵　Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0, ∴　方程有两个不相等的实数根. (2)∵　a≠0, ∴　方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零. ∵　Δ=(-b)2-4·a·0=b2, ∵　无论b取任何实数,b2均为非负数, ∴　Δ≥0.[来源:学科网] 故方程有两个实数根. 点拨:将方程化为一般形式,确定a