人教版讲义【初中数学】九年级第二十一章一元二次方程21.2根与系数的关系

合作探究 探究点1 一元二次方程的根与系数的关系 情景激疑 求根公式是由一元二次方程的系数a，b，c决定的，两根的和、两根的积分别与系教a，b，c有怎样的关系呢? 知识讲解 根与系数的关系(韦达定理):如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=- .x1x2= 也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。 注意 两根的和、两根的积与系数的关系都是比的形式，谁与谁的比不要混淆，和有相反数的关系，积没有。 典例剖析 例1 不解方程,求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积. 解析 运用根与系数的关系与运用判别式类似，需要先把方程化为一般形式，以便确定a,b，c. 答案 将原方程化为一般形式得2x2+4x-1=0，∴a=2，b=4，c=-1,于是x1+x2=- =- =-2，x1x2= = =- 。 类题突破1 设一元二次方程3x2 +2x-m=0的一个根是-2,求方程的另一个根及m的值。 答案 设另一个根为x2，由根与系数的关系可得-2十x2=- ，解得x2= .再由两根之积与系数的关系可得-2× = ，解得m=8. 点拨 此类问题也可以用方程根的定义，将x1=-2代入原方程，求出m的值，再求出另一个根。 探究点2(高频考点) 根与系数关系的应用 情景激疑 关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，x1+x2与x1x2分别和p，q有怎样的关系? 知识讲解 如果方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q。 注意 (1)对于二次项系数是 1的一元二次方程，它的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. (2)对于任何二次项系数a≠1的一元二次方程,都可以通过方程的两边同除以a,化为二次项系数为1的形式x2+px+q=0. 典例剖析   例2 (1)如果x1，x2是方程x2-5x+3=0的两个根，那么x1+x2= ________，x1x2=________；      (2)以一2，3为根的一元二次方程是________。   解析 (1)直接利用x1+x2=-p，x1x2=q的关系来求值；(2)由x1+x2=-p可得p=-(x1+x2)，x1