2018年各地中考数学试卷精选汇编：综合性问题（PDF版）

综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD 是等腰直 角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点 E，连 CD分别交 AE，AB于点 F，G，过点 A 作 AH⊥CD交 BD于点 H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△ AFG∽△CBG；⑤AF=（ ﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠ CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG 度数，从而得出∠AGF 度数，据 此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，由△ADF≌△ BAH知 BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a， 证△PAF∽△EAH得 = ，从而得出 a与 x 的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD 是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知 AF≠AG，故②错误； 记 AH与 CD的交点为 P， 由 AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF 和△BAH中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在 Rt△APF中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x， 设 EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH