高三数学专题：极化恒等式在向量问题中的应用

极化恒等式在向量问题中的应用 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： M M 图1 （1） 图1 （2） （1）（2）两式相加得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ＝————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. A B C M 即：（平行四边形模式） A B C M 思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为，所以（三角形模式） 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值 例1.(2012年浙江文15)在中，是的中点，，则____ . 解：因为是的中点，由极化恒等式得：=9-= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC 的重心，O在CD上，且，所以， 又由极化恒等式得： 因为P在圆O上，所以当P在点C处时， 当P在CO的延长线与圆O的交点处时， 所以 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测 1、矩形中，，点分别为边上的动点，且，则的最小值是( ) A． B． C． D． 2、已知是圆上互不相同的三个点，且，则的最小值是 3、已知,, 为平面内一点，满足，则的取值范围是 . 目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足， 且对于边上任一点，恒有。则(