平面向量概念及几何运算-高一下学期同步导学案

 平面向量概念及几何运算

【考纲解读】

1、理解平面向量的定义，掌握平面向量的几何表示，了解共线向量的定义；

2、掌握平面向量加法，减法运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量加法，减法的几何运算；

3、理解两个平面向量共线的充分必要条件，掌握实数与平面向量相乘的法则和基本方法，能够熟练地运用两个平面向量共线的充分必要条件解答相关的数学问题。

【知识精讲】

一、平面向量的基本概念：

1、向量的定义：具有大小和方向的量，叫做向量；

2、向量的三要素：（1）向量的始点；（2）向量的方向；（3）向量的大小；

3、向量的几何表示：（1）用向量始点与终点的大写字母（注意始点与终点的顺序）加上箭头符号，如，，-------；（2）一个小写字母加上箭头符号，如，，------；

4、向量的模：向量的模是指向量的长度，它可表示为||或||；

5、特殊向量：（1）零向量是指模长为0的向量，表为 ；零向量具有如下性质：①模长为0 ；② 方向不确定；③零向量与任何向量共线；（2）单位向量是指模长为1的向量，常用

，，-----表示，也可以表示为，，----- ；（3）平行向量（或共线向量）是指方向相同或相反的向量，如果与平行（或共线），则可表示为//，规定零向量与任一向量平行（或共线）；（4）相等向量是指方向相同且模长相等两个向量，如果与相等，则可表示为=，相等向量具有两个特征：①方向相同；②模长相等；（5）相反向量：①定义：与一个向量方向相反且模长相等的向量，叫做这个向量的相反向量；②相反向量的表示：向量的相反向量可表示为-；③互为相反向量的两个向量的性质：互为相反向量的两个向量的和为零向量，即：若设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=。

 二、平面向量的几何运算：

1、平面向量的加法：

（1）平面向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法；

（2）平面向量加法的法则：

①平行四边形法则如（图1）：

平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点，        +

它的适用范围是具有公共始点的两个向量相加；          （图1）

②三角形法则如（图2）：

三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向量               

的终点重合，它的适用范围是一个向量的始点与           +     

另一个向量的终点重合的两个向量相加；特别的：                   

+=+=。                                   （图2）

（3）向量加法的运算律：

①+=+，这个运算律称为平面向量加法的交换律；②（+）+=+（+），这个运算律称为平面向量加法的结合律。

2、向量的减法：

向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

3、实数与向量的乘积：

（1）实数与向量积的定义：设向量为，R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；

（2）实数与向量积的运算法则：由实数与向量积的定义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长 ；② 确定的方向；

（3）实数与向量的积的运算性质：设，是向量，，R。                    

 ①（）=（）；②（+）=+；③（+）=+。

（三）、共线向量的充要条件：        

向量与非零向量共线的充要条件：若存在R，使=成立，则向量与非零向量共线，即：向量与非零向量（≠0）共线存在∈R，使=成立。

【探导考点】

考点1平面向量定义及运用：热点①运用平面向量定义判断命题的真假；热点②特殊平面向量定义的理解及运用；

考点2平面向量的几何运算：热点①平面向量的几何运算；热点②根据平面向量的几何运算，求表示式中参数的值（或取值范围）；热点③平面向量几何运算与平面几何的综合问题；

考点3两个向量共线的充分必要条件及运用：热点①平面运用两个向量共线的充分必要条件，判断两个向量是否共线（或证明三点共线）；热点②已知两个向量共线，求向量表示式中参数的值；热点③两个向量共线的充分必要条件与平面几何的综合问题；

【典例解析】

【典例1】解答下列问题：

1、下列说法正确的是（ ）

A  数量可以比较大小，向量也可以比较大小  B  方向不同的向量不可以比较大小但同向的可以比较大小   C   向量的大小与方向有关   D   向量的模可以比较大小

2、下列说法中错误的是（ ）

A零向量是没有方向的                  B零向量的长度为0

C零向量与任一向量平行                D零向量的方向是任意的

3、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功。其中不是向量的有（ ）

A     1个      B     2个        C       3个        D       4个

4、给出下列四个命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//。其中正确命题的序号是（ ）

A    ②③     B     ①②        C      ③④        D       ②④

5、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：

（1）          若向量与同向，且||＞||，则＞；

（2）          若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）          对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；

（4）          的方向不定，故不与任何向量平行；

（5）          向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；

（6）          向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；

（7）          起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。

『思考问题1』

（1）【典例1】是与平面向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本概念，尤其是特殊向量的定义，理解时应注意特殊向量的定义和特点；

（2）零向量是指模长为零的向量，零向量具有如下性质：①零向量模长为零 ；②零向量的方向是不确定的；③零向量与任何向量与任何向量平行（或共线）；

（3）相等向量与相反向量是两个不同的概念，相等向量是指模长相等且方向小题的两个向量，相等向量具有两个特征：①模长相等；②方向相同；相反向量是指模长相等且方向相反的两个向量，相反向量也具有两个特征：①模长相等；②方向相反；

（4）平行向量（或共线向量）是指方向 相同或相反的一组向量，它包括两种情况：①方向

相同的一组向量；②方向相反的一组向量。

〔练习1〕解答下列问题：

1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是(  )

A  ||=||    B   =     C  =     D     =

2、物理学中的作用力与反作用力（ ）

A不是向量                         B是大小相等方向相同的向量

C是大小不等方向不同的向量         D是大小相等方向相反的向量

3、设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||；②若与平行，则