第2章 阶段综合提升 第3课 平面向量-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第三课　平面向量 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 平面向量的线性运算 【例1】　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，. [解]　∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0，∴＝－－－D ＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－ ＝－＋＋＝e2. 向量线性运算的基本原则和求解策略 1基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 2求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧. ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如共起点两个向量作差用减法的几何意义，如 1．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 　[设＝λ， 则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋. ＝＋＝－＋. ∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.] 平面向量数量积的运算 【例2】　(1)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　) A.　　　　　　　 B. C．－ D．－ (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝________. (1)A　(2)　[(1)＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||·＝＝＝. (2)因为·＝·＝－2－·＝－3， 所以·＝.] 向量数量积的求解策略 1利用数量积的定义、运算律求解.,在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，a－b2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及a＋b·a－b＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用. 2借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积. 3借助平行向量与垂直向量.,即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题. 4建立坐标系，利用坐标运算求解数量积. 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　B．3 C．2　　　D．0 B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.] 3．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值为(　　) A.　　　B. C．2　　　D. C　[如图建立平面直角坐标系，由题意得，D(，)，C(，0)，设P(0，t)(0≤t≤)，∴＝(，－t)，＝(，－t)，∴·＝t2－t＋2＝＋，∴当t＝0或时，(·)max＝2，故选C.] 平面向量的坐标运算 【例3】　(1)(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________. (2)设a＝(2,0)，b＝(1，)． ①若(λa－b)⊥b，求λ的值； ②若m＝λa＋μb，且|m|＝2，〈m，b〉＝，求λ，μ的值． 思路点拨：(1)用坐标表示出ma－b，再利用垂直关系列出方程求解． (2)将向量坐标表示后列方程或方程组求解． (1)－1　[∵a＝(1,0)，b＝(－1，m)， ∴ma－b＝(m,0)－(－1，m)＝(m＋1，－m)， 由a⊥(ma－b)得：a·(ma－b)＝0， ∴a·(ma－b)＝m＋1＝0， 即m＝－1.] (2)[解]　①因为a＝(2,0)，b＝(1，)， 所以λa－b＝(2λ，0)－(1，)＝(2λ－1，－)． 又(λa－b)⊥b， 所以(λa－b)·b＝0，即(2λ－1，－)·(1，)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2. ②因为a＝(2,0)，b＝(1，)，m＝λa＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，)＝(2λ＋μ，μ)． 因为|m|＝2，〈m，b〉＝， 所以 即解得或， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 向量的坐标运算 若a＝a1，a2，b＝b1，b2，则 ①a＋b＝a1＋b1，a2＋b2； ②a－b＝a1－b1，a2－b2； ③λa＝λa1，λa2； ④a·b＝a1b1＋a2b2； ⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2λ∈R，或b1≠0，b2≠0； ⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0； ⑧若θ为a与b的夹角，则 4．已知A(－1，－1)，B(sin θ，co