青岛版数学八年级上册专题突破讲练：巧用分式方程的增根解决问题

初中数学 巧用分式方程的增根解决问题 编稿老师 张之艳 一校 程文军 二校 杨雪 审核 杨国勇 一、解分式方程的步骤： 二、分式方程增根的概念： 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。 三、产生增根的原因： 增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是0，因此就有可能产生满足整式方程，但是不满足分式方程的根。 注意：1. 解分式方程必须要验根； 2. 验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中，看是否为0。 四、常见的题型： 1. 求增根问题： 方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母，若为零是增根，若不为零是原方程的根。 2. 根据增根求待定系数问题： 步骤：①去分母，化分式方程为整式方程； ②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。 例题1 若关于x的方程 有增根，则a的值为__________。 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a, 答案：原方程可化为： ① 又原方程的增根是 ，把 代入①，得： 故应填“ ”。 点拨：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值。 例题2 当a取何值时，解关于x的方程： 无增根？ 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,最后从保证整式方程有实根的a的取值范围中把产生增根的a的值去掉。 答案：原方程可化为： ① 又原方程的增根为x=2或 ，把x=2或 分别代入①得： 或 又由 知，a可以取任何实数。 所以，当 且 时，解所给方程无增根。 点拨：解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程； （2）由所得整式方程，求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围； （3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。 例题3 当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程 只有一个实数根。 解析：先化成整式方程（即一元二次方程）分两种情况：（1）一元二次方程有两个相等实根。（2）有两个不等实根，且有一个是增根。 答案：原方程可化为： ① 要原方程只有一个实数根，有下面两种情况： （1）当方