【2018年高考数学核心课程全国II卷-理】题组28 导数的综合应用（教案）

题组28 导数在函数中的应用 一、考法解法 命题特点分析 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用. 解题方法荟萃 1.在某个区间内可导，若,则是增函数；若,则是减函数. 2.求函数的极值点应先求导，然后令得出全部导数为的点，(导数为的点不一定都是极值点，例如：,当时，导数是，但非极值点)，导数为的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为. 3.可导函数的最值可通过内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如,在处不可导，但它是最小值点. 二、真题剖析 【题干】(2017新课标全国Ⅱ卷 11)若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，由题意解得，，在，，故时，选A （点评）本题考查函数的极值点与极值.要注意导数的零点，不一定是函数的极值点，极值点是导数的变号零点 【题干】(2017新课标全国Ⅱ卷 21) 已知函数且. （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 【解析】（1）的定义域为，即 设，，， ，得 若，则，当时，，单调递减；当时，单调递增.所以是的极小值，故，综上 (2)由（1）知，，设则，当时，；当时，，所以在单调递减，在上单调递增.又，，所以在上有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，因为，所以是的极大值点.，故，由得 因为是在的唯一极大值点，又， 得，所以 （点评）本题考查导数的综合应用. 【题干】(2016新课标全国Ⅱ卷 21) （1）讨论函数的单调性，并证明当时，； （2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域. 【解析】（Ⅰ）的定义域为. 且仅当时，，所以在单调递增， 因此当时， 所以， （II） 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即， 当时，，，单调递减； 当时，