第五课时 2.2“三个二次”（2）-新课程新课标《初高中数学衔接课程》

2.2 “三个二次”（2）（第5课时） 【学习目标】 1.认知函数零点是一个数及二次函数零值分布的解法规律； 2.了解并初步掌握二次函数零点与对应二次方程的根是一回事，关键学会适时转化； 3.掌握二次函数轴动区间定和轴定区间动两种情况的解法。 【知识整合】 1.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 2.实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3.一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关解二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——轴动区间定和轴定区间动，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 问题5.二次函数的零值分布及条件 【探究5】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．求实数a的取值范围． 【针对训练5】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 【思维提升】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 问题6.二次函数轴动区间定与轴定区间动或“两动”问题 【探究6】已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值． 【引申探究】已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【针对训练6】已知函数，其中是实数，在区间上的最大值记为，求的表达式； 【课堂限训】（限时10分钟） 1．函数y＝x2－4x＋4的零点是(　　 ) A．(2,0) B．(0,4) C．±2 D．2 2.当m为何值时，不等式的解包含0到4的所有实数(不包括端点0，4)？ 【课堂小结】 1.本节知识小结：从二次函数观点下看一元二次不等式（包括含参）和方程的概念及解法； 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法； 3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准． 【课外作业】 1.关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 2.在【针对训练6】其它条件不变，若在区间上的最小值记为，求的表达式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 “三个二次”（2）（第5课时） 【学习目标】 1.认知函数零点是一个数及二次函数零值分布的解法规律； 2.了解并初步掌握二次函数零点与对应二次方程的根是一回事，关键学会适时转化； 3.掌握二次函数轴动区间定和轴定区间动两种情况的解法。 【知识整合】 1.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 2.实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3.一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关解二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——轴动区间定和轴定区间动，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 问题5.二次函数的零值分布及条件 【探究5】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解】令函数，依题意的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【针对训练5】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 【答案】 【解】令图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根， ，解得.故答案为： 【思维提升】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 问题6.二次函数轴动区间定与轴定区间动或“两动”问题 【探究6】已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值． 【解】（1）由得，对称轴为，设， ∴，得， ∴． （2），，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： 【引申探究】已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【解】（1）当时，不等式，即为， 即，解得，所以或， 原不等式的解集为． （2）， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则， 综上，或． 【针对训练6】已知函数，其中是实数，在区间上的最大值记为，求的表达式； 【解】，对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 【课堂限训】（限时10分钟） 1．函数y＝x2－4x＋4的零点是(　　 ) A．(2,0) B．(0,4) C．±2 D．2 【答】D 1. 若是方程的两根，比较的大小. 【解】利用作图法比较，在平面直角坐标系中做出函数，与x轴交点的坐标为，再把函数向下移动1个单位即可以得到的图像，与x轴交点的坐标为，如图可知： 2.当m为何值时，不等式的解包含0到4的所有实数(不包括端点0，4)？ 【解】不等式可转化为 因为，所以不等式的解为 所以只需，解得即解得， 所以m范围 【课堂小结】 1.本节知识小结：从二次函数观点下看一元二次不等式（包括含参）和方程的概念及解法； 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法； 3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准． 【课外作业】 1.关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 2.在【针对训练6】其它条件不变，若在区间上的最小值记为，求的表达式。 【解】，对称轴为， 当，即时，函数在区间上单调递增，， 当，即时，函数在区间上单调递减，， 当，即时，， 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$