专题08 导数与不等式、函数零点相结合-三年高考（2016-2018）数学（理）试题分项版解析

专题08 导数与不等式、函数零点相结合 考纲解读明方向 考纲内容 考　　点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 1.导数与不等式 3年3考★★★ 逻辑推理 数学计算 1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题 2.低频考向:利用导数解决某些实际问题. 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 2018年高考全景展示 1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求．[来源:学科网] 2．【2018年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． [来源:Zxxk.Com] （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．学=科网 2017年高考全景展示 1.【2017课标3，理11】已知函数 有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 2.【2017课标1，理21】已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求a的取值范围.[来源:学科网ZXXK] 3.【2017课标II，理】已知函数 ，且 。 (1)求 ； (2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。 4.【2017天津，理20】设 ，已知定义在R上的函数 在区间 内有一个零点 ， 为 的导函数. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）设 ，函数 ，求证： ； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足 . 2016年高考全景展示 1．【2016高考新课标1卷】已知函数 有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设x1,x2是 的两个零点,证明：. 2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知 . （I）讨论 的单调性；[来源:学科网ZXXK] （II）当 时，证明 对于任意的 成立. 3.【2016高考江苏卷】已知函数 .设 . （1）求方程 的根;学科-网 （2）若对任意 ,不等式 恒成立，求实数 的最大值；[来源:学科网ZXXK] （3）若 ，函数 有且只有1个零点，求 的值。 4.【2016高考新课标3理数】设函数 ，其中 ，记 的最大值为． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）证明： ． 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ $$ 专题08 导数与不等式、函数零点相结合 考纲解读明方向 考纲内容 考　　点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 1.导数与不等式 3年3考★★★ 逻辑推理 数学计算 1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题 2.低频考向:利用导数解决某些实际问题. 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 2018年高考全景展示 1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【答案】（1）见解析（2） [来源:学科网] 当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，. 所以在单调递增.又，故当时，；当时，. （2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数. 由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点. .如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，. 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。 2．【2018年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，；学-科网 （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，