精品解析：内蒙古乌兰浩特第一中学2026-2027学年高三上学期第一次学程考试数学试题

乌兰浩特一中高三第一次学程考试 数学模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域. 【详解】解：令，可得， 可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增， 当时，，故函数的值域为， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解. 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂运算规则可得，从而可得，故可得三数的大小关系. 【详解】， 因为，故即，故. 因为， 所以，所以. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出时的函数解析式，计算，，从而求出切线方程. 【详解】当时，，所以， 因为是奇函数，所以， 则，，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：C 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的导函数不等式构造新的单调函数，将原不等式转化为一次不等式恒成立问题求解. 【详解】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为. 二、多选题 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法 选化学，不选物理，有种选法 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D错误 故选：ABD 10. 已知函数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得且，利用基本不等式求解即可. 【详解】作出图象如下， 因为，且， 所以，由图象可知，， 所以， 所以，所以也即，A错误； ，B错误； ， 当且仅当即时取得等号，C正确； 因为, 当且仅当时取得等号，由于， 所以，D正确， 故选:BCD. 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数t的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出，令，结合的对称中心、求出a，b可判断A；令，求出x可判断B；设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出t可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出m可判断D. 【详解】对于A，，，令， 可得，解得，所以， 再由，解得，故A错误； 对于B，由A知，由， 即 可得，或，解得，或，， 所以方程有三个根，故B正确； 对于C，设，则， 要使得不等式成立，即成立， 令， 可得在存在单调递减区间，而， 故即,故C错误； 对于D，令，解得，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得在处有极大值，为，在处有极小值，为， 且由解得，或， 若函数在区间上有最大值，则， 解得，故D正确. 三、填空题 12. 已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令，由，即或，解得或， 当时，解得或；当由，解得， 即函数的所有零点所构成的集合为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力. 13. 若直线是曲线的切线，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设直线与曲线的切点坐标为. 由求导得. ，化简得，解得. ∴ 将代入切线方程，得； 再将代入曲线方程，得. 联立两式得，解得. 14. 设函数当时单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】原题等价于当时，恒成立，转化为不等式恒成立求参数范围的问题，结合导函数分析单调性即可得解. 【详解】函数，， 由题当时函数单调递增，即当时，恒成立， ， 当时，恒成立，仅当时， 在单调递增， 满足题意； 当时，得，得， 所以在递减，在递增， ，与当时恒成立矛盾，不合题意，舍去， 综上所述：. 故答案为： 【点睛】此题考查根据函数单调性求参数的取值范围，其本质是根据不等式恒成立求参数的取值范围，常见处理办法，正面分类，分离参数和端点效应. 四、解答题 15. 设函数的定义域为，集合 . （1）求集合； （2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 由定义域的定义即可求解; (2) 由是的必 要不充分条件可判断集合是集合的真子集, 分类讨论的情况即可求解. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得(舍去) 当时，解得， 综上可知，实数的取值范围是 16. 已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性； （2）求在区间上的最大值； 【答案】（1）是奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）赋值法结合奇函数的定义判断即可. （2）先分析函数在已知区间内的单调性，利用单调性判断最大值的位置，再结合特殊点取值和的运算规则，即可得解. 【小问1详解】 令，则，所以. 令，则，即， 所以对任意恒成立， 所以是奇函数. 【小问2详解】 任取，且，则， 又，所以， 由（1）知是奇函数，所以，在上单调递减. 因此对任意，恒有， 又，而， 所以， 故在区间上的最大值为. 17. 甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中装有2个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换． （1）求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率． （2）设交换后甲箱中黑球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.5；（2）1.9. 【解析】 【详解】（1）第一类：记“取出的两个球都是黑球”为事件 第二类：记“取出的两个球都是红球”为事件 （2）可能取1，2，3 ， ，的分布列为 1 2 3 P 18. 已知函数在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值和函数的单调区间； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围． 【答案】（1）；的单调增区间为和，单调减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法列方程组，解出和的值，确定函数解析式，然后求导，最后求出单调区间即可. （2）结合（1）中结论，将恒成立问题转化为求最大值问题，即可得出参数范围. 【小问1详解】 由已知，函数，则， 由题意得，解得. 因此，， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以的单调增区间为和，单调减区间为. 【小问2详解】 当时，结合（1）中函数的单调区间， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，， 所以在区间上，. 故当时，恒有，即. 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 【答案】（1）1 （2），，，， 令，即， 因为函数有两个极值点、，， 故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则， 所以，，单调递减； ，，单调递增． 故，即． 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性，结合零点存在定理判断 （2）利用导数零点与极值点的关系，结合二次函数判别式与韦达定理化简构造函数证明不等式 【小问1详解】 时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰浩特一中高三第一次学程考试 数学模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 10. 已知函数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数t的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 三、填空题 12. 已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 13. 若直线是曲线的切线，则________． 14. 设函数当时单调递增，则的取值范围为__________. 四、解答题 15. 设函数的定义域为，集合 . （1）求集合； （2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性； （2）求在区间上的最大值； 17. 甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中装有2个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换． （1）求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率． （2）设交换后甲箱中黑球的个数为，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值和函数的单调区间； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $