湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期开学质量检测数学试题

高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（单选题和多选题） 单选 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D U B D A B D 多选 9 10 11 答案 BD ABC ABD 三、填空题 1 、 元 13.a≥1或a≤-2 3 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15、解：略(1) (4分) 3 (2)0 (8分) 3) 6 (13分) 16 解：(1)f(x)=V5sin2x+cos2x=2sin2x+ 则f(x)的最小正周期T= 2π (5分) 2由2x+亚=m,k∈Z,得x=m k∈Z, 6 12 即f(x)的对称中心的坐标为 1 k∈Z (9分) )当-≤x≤时，-≤2x+s2 6 4 6 63 则当2x+亚=工时，函数取得最大值，最大值为2sin元=2， (12分) 62 当2x+=-时， 函数取得最小值， 6 6 最小值为2in (15分) 第1页/共4页 17. (1)由正弦定理得(b+c)(b-c)=(a-c)a, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理可得cosB=a+2-=ac=1 2ac 2ac 2 因为B∈(0，)： 所B=背 (6分) ②由已知S.c三)acsin63V3 3,所以ac=3. 4 因为AD=2DC,所以AD=24C, 3 可得BD=BA+AD=BA+2AC=BA+?AB+2BC=BA+2BC, 3 3 3 3 3 所以(aD-gad+ac+2(Ba-Bd .4 +42,2 -a+ 9 9 9 9 93 +4d+ 2 ≥2 12a+2=2 a+ 3 333 当且仅当a=V6 c=V6时取等号， 所以BD的最小值为√2 (15分) 18、 解：（1)由频率分布直方图可知，各组的组距都是10， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以10(a+0.020+0.025+0.035+=1, 化简得10(2a+0.08)=1,即20a+0.8=1,即20a=0.2,即a=0.01, 所以图中a=0.01.(5分) (2)由(1)知a=0.01, 因此各组的频率分别为10×0.01=0.10,10×0.020=0.20， 第2页/共4页 10×0.025=0.25,10×0.035=0.35,10×0.01=0.10, 对应这100名学生各组的人数分别为10,20,25,35,10， 成绩在[80,90)内的人数为35， 成绩在[90,100]内的人数为10， 所以成绩在[80,100]内的总人数为35+10=45， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在[90,10]内被抽取的人数为27× 45 =6, 所以这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人数为6. (10分) (3)由(2)知，各组的人数分别为10,20,25,35,10， 各组的组中值分别为55,65,75,85,95， 则=5x10+65×20+75×25+85×35+95x10-765, 100 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分 (13分) 由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80]中间，设为x, 则0,1+0.2+x,70×0.25=0.5三x=78 (17分) 10 19 【详解】(1)B-(5,-22),绕着点A顺时针旋转牙 即逆时针旋转牙，代入公式， 4P=(5cos7-(2sn72sm+-22josg）(-l-), 所以OP=0A+AP=(1,2)+(-1,-3)=(0,-1), 则点P的坐标为P(O,-H):(5分) (2)由费马点的求法知： CA绕着点C顺时针旋转60°，与CE重合，∠ACB=30, 所以△ACE为等边三角形， 连接BE,PA+PB+PC的最小值为BE,由勾股定理得BE=13:(10分) (3)通过材料可以知道，aABC内部有一点P,连接PA,PB,PC, 将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC,连接PD,BE,则BE的长即为所求， 第3页/共4页 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角， 即此时点P满足∠APB=∠BPC=∠APC=120, 又由题设，可知△ABC为等腰三角形，且AC=BC, 根据费马点求法知：点P在AB中垂线OC上， 且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，所以∠PAB=30°， 故op=5oa=5,则r@写) (17分) 3 P B 第4页/共4页高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.复数2+i的共轭复数为() A.2i B.2-i C.-2+i D.-2-i 2.已知向量a=1,2),b=(2,t),若a/乃，则t=() A.-4 B.1 C.2 D.4 3.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°，a=1,c=√3，则角C的值为() A写 B.3 c或 3 D月 4.若正实数a,b满足1ga+lgb=1,则2+5的最小值为( a b A.V2 B.2 c.vio 2 D.2V2 5.已知两个随机事件A和B,其中P(A)= P(到-PU)-子则P(n=《) A B C.2 D.8 6.已知向量与的夹角为号，-2，=1，则向量在上的投影向量为() A.b B. C.a D.a 7.柜子里有3双不同的鞋，分别用41,42，b,b2,C,C2表示6只鞋，从中随机地取出2只.设事件A=“取 出的鞋不成双”，B=“取出的鞋中包含☑”，C=“取出的鞋都是一只脚的”，D=“取出的鞋是一只 左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”.对上述事件的关系，下列说法正确的是() A.ACC B.A与B独立 C.C与D对立 D.A与D互斥 8.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”.如 图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形EFHG的边长为1，E为 DF的中点，点P在正方形EFHG内（不含边界），则AP.AB的取值范围为() 第1页/共4页 A.(1,2) B.(0,4) C.(2,4) D.(1,4) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是() A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的A个体数为9，则样本容量为30 B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同 C.若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5,6,7,8,9，则这两组数较稳定的是甲 D.某组样本数据为6,11,8,13,16,10,16,4,18,14，则样本数据30%分位数为9 10.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一。所谓等腰四面体，就是指 三组对棱分别相等的四面体。关于“等腰四面体”，以下结论正确的是() A.长方体中含有两个相同的等腰四面体 B.“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C.“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D.三组对棱长度分别为a,b,c的“等腰四面体”的外接球直径为va2+b2+c2 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱AB,BB的中点，点P是正方 体表面上的一个动点，则下列说法正确的是() D B D2 A B A.存在点P使得AP⊥EF 8 B.三棱锥P-ABD体积的最大值为。 C.当点P在侧面BBCC,且满足PE=√2时，二面角A-CD-P的正切的最大值为√2 D.当直线AP与平面ABCD所成的角为死时，点P的轨迹长度为元+4√2 4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.某圆锥母线长为2，其侧面积为2√3π，则该圆锥的体积为 第2页/共4页 13.若命题“3reR,x2+2ar+2-a≤0”是真命题，则实数a的取值范围为 14.己知球O的体积为，=4V3π，点A,B,C,D均在球表面上，若△ABC为正三角形，且 DA=DB=DC=V2,则SABC= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)在正方体A1B1C1D1-ABCD中， 求(1)异面直线AD1和A1B所成的角的大小： (2)求二面角A1-AB-D的余弦值： (3)求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。 16.(15分)已知函数f(x)=2V3 sinxcosx+2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期： (2)求f(x)的对称中心的坐标： (3)求函数f(x)在的区间 ππ 上的最大值和最小值 64 17.(15分)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,已知(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA (1)求B: (2)若△4BC的面积为3V5,且AD=2DC,求BD的最小值 4 第3页/共4页 18.(17分)2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周。为提高同学们的垃圾 分类意识，某中学举行了一次垃圾分类知识竞赛”。为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100 名学生的竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后， 按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图。 顿率 ↑组距 0.035 0.025 0.02 05060708090100竞赛成绩/分 (1)求图中a的值： (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在[80,100]内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行 调查，求这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人数。 (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数。 19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一 点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于120°的△ABC内部有一点P,连 接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要 解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让 折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值某数学研究小 组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将△APC绕点 C顺时针旋转60°，得到△EDC,连接PD,BE,则BE的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马 点P的周角.同时小组成员研究教材发现：己知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋 转0角得到向量AQ=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos0), 图1 图2 (1)已知平面内点AL,2),B1+V2,2-2V2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转元后得到点P,求点P的坐标； (2)在△ABC中，∠ACB=30°，BC=12,AC=5,借助研究成果，直接写出PA+PB+PC的最小值： (3)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,2),求△ABC的费马点P的坐标. 第4页/共4页