河北省2018年黑白卷数学优质大题【PDF版】

书书书 优质大题 １．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记 载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分 之多四两，九两分之少半斤．” 大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则 剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．（注： 明代时１斤 ＝１６两，故有“半斤八两”这个成 语） 请用方程的知识求分银子的有多少人和所分银 子共有多少两． 解：设分银子的有ｘ人，所分的银子共有ｙ两， 根据题意可得 ｙ－７ｘ＝４ ９ｘ－ｙ{ ＝８，解得 ｘ＝６ｙ{ ＝４６， 答：分银子的有６个人，所分的银子共有４６两． ２．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸 的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需 更换悬索，该公司设计员构造了一个模型图（如 图②），其中 ＡＢ、ＢＣ、ＡＤ、ＤＣ均可看作一条线 段，且ＡＢ⊥ＢＣ，线段ＤＣ的倾斜角为６０°，∠ＤＡＢ ＝１２０°，ＤＣ＝６０ｍ． 第２题图 （１）求∠ＡＤＣ的度数； （２）若ＡＢ＝２０ｍ，求出悬索 ＡＤ的长．（结果保 留根号） 解：（１）由题易知，∠ＢＣＤ＝１８０°－６０°＝１２０°， ∵ＡＢ⊥ＢＣ，∴∠ＡＢＣ＝９０°， 又∵∠ＤＡＢ＝１２０°， ∴∠ＡＤＣ＝３６０°－１２０°－９０°－１２０°＝３０°； （２）如解图，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线 于点Ｅ，过点Ａ作ＡＦ∥ＢＣ交ＤＥ于点Ｆ， 第２题解图 在Ｒｔ△ＤＣＥ中，∠ＤＣＥ＝６０°，ＤＣ＝６０ｍ， ∴∠ＣＤＥ＝３０°，ＤＥ＝ＤＣ·ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝６０×槡３２ 槡＝３０３ｍ， 又∵ＡＢ＝２０ｍ，ＥＦ＝ＡＢ， ∴ＤＦ＝ＤＥ－ＥＦ＝（ 槡３０３－２０）ｍ， 在Ｒｔ△ＡＤＦ中， ∵∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝６０°， ∴ＡＤ＝ ＤＦｃｏｓ６０°＝（ 槡６０３－４０）ｍ． 答：悬索ＡＤ的长为（ 槡６０３－４０）ｍ． ３．如图，在平面直角坐标系中，Ｒｔ△ＡＢＣ的直角边 ＡＣ在ｘ轴上（ＡＣ＜ＢＣ），∠ＡＣＢ＝９０°，反比例函 数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象与ＢＣ相交于点Ｄ（８， ３ ２）． 第３题图 （１）求反比例函数的表达式； （２）将△ＡＢＣ绕点 Ａ逆时针方向旋转９０°后得 到△ＡＥＦ，若点 Ｅ，Ｆ恰好分别落在 ｙ轴和反比 例函数图象上，求ＢＦ的长． 解：（１）∵反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过 点Ｄ（８，３２），∴ｋ＝８× ３ ２＝１２， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝１２ｘ（ｘ