三角函数y=sinx、y=cosx的周期性

地球运动形式 自转 公转 2310.unknown 2311.unknown 现代汉语词典中“周期”的解释： 事物在运动、变化的发展过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间叫周期。 你还能举出哪些生活中具有周期性现象的例子？ 如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 问题1：点P的运动是周期运动吗？ 设圆的半径为2,每4分钟运动一周.设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为 y=f(t). 问题2:f(0)=?,f(4)=?,f(8)=?,f(12)=? f(2)=?,f(6)=?,f(10)=?,f(14)=? 位置在A点 位置在C点 A B C D P 如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 问题3:点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置关系如何？ f(t+4)=f(t) 问题4: f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系? 运行时间不等，但最终位置相同。 A B C D P 我们把满足这种关系的函数称作： 周期函数 1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 概念 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数 就叫做f(x)的最小正周期。 前面函数y=f(x)的周期可以认为是4,8,12,…. 思考：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ 任意实数 常值函数： （ ）周期为： §1.4正弦余弦函数 周 期 性 X X+2π 自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的 4π 8π 6π 12π 1. T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数) 正弦函数是周期函数吗？ sin(x+2π)=sinx 今后提到的三角函数的周期，如果不加特别说明,一般是指它的最小正周期。 o y x x o y y 0 x 4 2 -2 y=sinx(x∈R) 思考： 例 1. 求下列函数的周期： 解：设周期为T，则 f(x+T)= f(x)=cos3x=cos(3x+2π) cos3(x+T) Cos3x＝cos3（x＋ ） 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)， 解得T= . ∴ 函数f(x)=cos3x的周期 例1. 求下列函数的周期： 探究创新：1：你能从解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？ 归纳总结 小试牛刀：求下列函数的周期 例2.求下列函数的周期 请问： 是周期函数吗？ 1.定义法： 2.公式法： 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周期是: 3.图象法: 这节课你有什么收获？ ２．一个函数是周期函数，但它不一定有最小正 　周期.例如，f(x)＝a(常数) 　 ３．设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z， 　且k≠0)也一定是f(x)的周期. １．理解周期定义时要注意，式子f(x＋T)＝f(x) 　是对“x”而言. $$