黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三第三次模拟考试（5月）数学（理）试题

高三理科数学答案 一、CDABC BCDBB BD 二、13. 14.丁 15. 16. 三、 17. 解：(1)∵等比数列{an}满足a1＝1且a1，a3，a2＋14成等差数列，∴2a3＝a1＋a2＋14， 即2a1q2＝a1＋a1q＋14，∴2q2－q－15＝0，∴q＝3或q＝－， 又q>1，∴q＝3， ∴an＝3n－1.--------------------3分 ∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1，① ∴当n≥2时，有 a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·3n－1＋1，② ①－②可得anbn＝(2n－1)·3n－1(n≥2)， ∴bn＝2n－1(n≥2)． 又n＝1时，可得b1＝1，适合bn＝2n－1， ∴bn＝2n－1. -----------------6分 (2)man≥bn－8恒成立，即m≥恒成立． 令Cn＝， ∴Cn＋1－Cn＝，＝－ 当Cn＋1＝Cn，即n＝5时，C5＝C6， 当Cn＋1>Cn，即n<5时，C1<C2<C3<C4<C5， 当Cn＋1<Cn，即n>5时，C6>C7>C8>…， ∴Cn的最大值为C5＝C6＝， ∴m的最小值为.-----------------12分 18. 解: (Ⅰ)设男生考试成绩的平均分 ，女生考试成绩的平均分 ，所以 ，…….2分 ……4分 (Ⅱ) （ⅰ）由已知, 服从正态分布 所以 …….6分 （ⅱ）根据分层抽样可知,男生与女生人数的比为3:2，可知男生有600人，女生有400人，依题意知 ，所以 …….8分 (Ⅲ)有图可知，男生考试优秀人数为 ，女生考试优秀人数为4， 所以任意抽取两名男生参加即获 奖励的概率为 , 任意抽取两名女生参加即获 奖励的概率为 , ……..10分 任意抽取一名男生和一名女生参加即获 奖励的概率为 ， 因为 ，所以获 奖励的可能性较大. ……..12分 19. (1) EMBED Equation.DSMT4 ， 平面 ；-----------------4分 （2）如图建系：由 计算可得 设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 由 可得： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 答：二面角的余弦值为 -------------------12分 20. （1） 延长 交直线 于点 ， , 为 的中点， ， （2）设 EMBED Equation.DSMT4 ， 直线 的方程为 ，令 设 ，当 时， 直线 的方程 21. （1）当 时， ∴ ， 令 ，则 ，列表得： 1 + 0 - 单调增 极大值 单调减 ∴ 有极大值 ，无极小值；-----------------------3分 （2） ， ∴ ， 设 ①当 时， 恒成立，即 恒成立，∴ 在 上单调减； ②当 且 ，即 时， 恒成立，且不恒为0，则 恒成立，且不恒为0，∴ 在 上单调减； ③当 且 ，即 时， 有两个实数根： ， 且 ∴ ∴当 或 时， ， ； 当 时， ， ； ∴ 在 和 上单调减， 在 上单调增． ∴综上：当 时， 在 上单调减； 当 时， 在 和 上单调减， 在 上单调增.-----------------------------7分 （3） ， ，问题即为判断 的符号． ∵函数 的图象与 轴交于两点 ，且 ∴ 两式相减得： ∴ ∴ ) ∵ 且 ∴ ∵ ∴ 研究： 的符号，即判断 的符号． 令 ， ，设 ∴ 方法（一） 设 ，其对称轴为： ∴ 在 上单调减，则 ， 即 在 上恒成立∴ 在 上单调增∴ ， 即 ∵ ∴ ∴ ，即 ∴在点 处的切线斜率为正．---------------------------------------------12 方法（二） ∵ ， ∴ ∴ 在 上恒成立 ∴ 在 上单调增 ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ，即 ∴在点 处的切线斜率为正． 22. （1） 的直角坐标方程为 的直角坐标方程为 ------------5分 （2）设曲线 与 轴异于原点的交点为 , 过点 设直线 的参数方程为 ，代入 可得 ，解得 或 ，可知 代入 可得 ，解得 ，可知 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 时取等号， 所以线段 长度的最小值为 .------------------------------------------------------------------10分 23.当 时， 得 的解集为 ------------5分 （1） 由 得 由 得 得 （当且仅当 或 时等号