(4)均值不等式及其应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第一册&必修第二册同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第一册 (四)均值不等式及其应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知0<x<4,则x(4一x)的最大值为 A号 B.1 C.2 D.4 2.函数y=x+与十5(x>1)的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 3.用一段长为24m的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是 A.36m B.144m C.60m D.72m 4.已知>1，则y=,十的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.8 5.已知不等式2x十m十子>0(x>一1)恒成立，则实数m的取值范围是 A.m<-2 B.m>-4 C.m>-2 D.m<-4 6.记maxa,b}为a,b两数的最大值，当正数x,y(x>2y)变化时，t=max之'y(x-2 的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 数学（人教B版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题中正确的是 A.当x>1时，x+1>2 B当x<0时，x+1<-2 当0<<1时V匠+浮 D.当x>2时E+2>22 8.已知实数a,b满足ab=a十b十3，则 A.a十b的取值范围是{a十ba十b≥6} B.ab的取值范围是{abab≤1或ab≥9} C.a+2b的取值范围是{a+2ba+2b≤3-4√2或a+2b≥3+4√2》 D.(a一1)b的取值范围是R 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 d 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知正数x,y满足x2十y2=32,则x十y的最大值为 10.某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：a1a,…a,≤十a十…+a(a1, n a2,…,am≥0)，当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.小明由此得到启发，在求x3 -3x,x∈[0，十∞)的最小值时，小明给出的解法是：x3-3x=x3+1十1-3x-2≥ 3x3·1·1-3x-2=3x-3x-2=-2,当且仅当x=1时，有最小值-2. (1)请你模仿小明的解法，得出x一4x,x∈[0，十∞)上的最小值为 (2)当a>0时，x3-ax,x∈[0，十∞)的最小值为 .(本题第一空2分，第二 空3分) 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>b}(b>1). (1)求a,b的值； (2)若x>0,>0,且满足+b=1. (1)求使2x十y取得最小值时x,y的值； (i)求2x+y的最小值， 12.(本小题满分15分) 已知a>0,b>0,c>0,且a十b十c=1,证明： a)2++61: (2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c). 数学（人教B版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产 设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年 后(x∈N*),其x年来所需维修保养费用的总和为(2x2十10x)万元，设该设备产生 的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入一总支出）. (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）？ (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利 总额·使用年数)； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第一册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢW ⊙ ② ③④⑤⑥ 档次 系数 选择题 利用基本不等式求 易 0.80 积式的最值 利用基本不等式求 选择题 和式的最值 V 易 0.72 利用基本不等式解 3 选择题 5 中 0.65 决几何问题 用基本不等式求分 4 选择题 5 中 0.55 式型函数的最值 由不等式恒成立 5 选择题 5 求参 中 0.50 与基本不等式有关 6 选择题 5 中 0.40 的新定义题 不等式的性质的 选择题 6 易 0.72 应用 6 选择题 由条件等式及基本 6 中 0.40 不等式求范围 9 填空题 5 不等式链的应用 易 0.80 与基本不等式有关 10 填空题 5 / 中 0.45 的新定义题 利用1的代换及基 11 解答题 13 中 0.65 本不等式求最值 利用基本不等式证 12 解答题 15 明不等式 中 0.45 基本不等式的实际 13 解答题 20 中 0.40 应用 昏吉答案及解析 一、选择题 1.D【解析】当0<x<4时，x(4一x)≤ 2.D【解析】由x>1,得x-1>0,则y=x一1十x一 「十4一2=4，当且仅当x=4-x,即x=2时取 2 +6≥2√x一1)·舌+6=8，当且仅当x=2时取 等号，所以x(4一x)的最大值为4.故选D. 等号，所以所求的最小值为8.故选D. ·13· ·数学（人教B版）必修第一册· 参考答案及解析 3.D【解析】设矩形菜园的宽为xm,长为ym,则2x 8.BC【解析】由ab=a十b十3，得(a-1)(b-1)=4, +y=24,且x>0,y>0.因为24=2x+y≥2√2xy→ xy≤72（当且仅当x=6,y=12时取等号），则菜园的 得6=1十a气(a≠1D,对于A,a+6=a十1十。 4-1= 面积最大是72m.故选D. (a-1)+。号+2，当a-1>0时，(a-1)+a十 4.C【解析】因为x>1,所以x-1>0,从而y= 2≥2√4十2=6，当且仅当a=3时取到等号；当a-1 中=1+马+1≥2-1)·高十 x-1 <0时，由1-a+。≥4，得(a-1)+。十2≤ 1=5,当且仅当一1=高即x=3时等号成立，因 一4十2=一2，当且仅当a=-1时取到等号，所以a 此当x=3时，y取得最小值5.故选C +b的取值范围是{a十b|a十b≤-2或a十b≥6}，A 错误；对于B,ab=a十b十3，由A可得ab的取值范围 5.C【解析】不等式2x+m十异>0(>-1)恒皮 是{ab|ab≤1或ab≥9}，B正确：对于C,a十2b=a十 立，即m>-(2x+名)恒成立，-(2x+异)） 号十2=(a-1)+马十3，当a-1>0时， 8 -[2x+1)+品-2]-[2V2x+…系 (a-1)+8 a气+3≥2+3=4E+3,当且仅当a -2]-=-2,当且仅当2(x中1)=名，即x=0时等 =1+2时取到等号：当a一1<0时，由1-a十8。 号成立，故m>-2.故选C. ≥4E,得（a-1)十。号十3≤-4E+3,当且仅当 6,B【解析】由t=max号y2可得≥号 x2 4 a=1一2√2时取到等号，所以a十2b的取值范围为{a x 4 +2ba+2b≤-4w2+3或a十2b≥4√/2+3}，C正确； ≥x-2）21≥艺+yx-2）,当正数xw0x之 对于D,(a-1)b=a-1十4=a+3≠4，D错误.故 2y)时， 4 选BC. y(x-2y) 2y(x-2y) 三、填空题 8 2y+x2y)￥=号，当且仅当2y=x一2y,即D 9.8【解标】因为<√+y=32,所以 2 =4y时等号成立，故2≥号十 4 2 Cy(x-2v)2十9 十)2√产=8，当且仅当x=y=4时等号成 立，即x+y的最大值为8. ≥2√层·-8则≥，当且仅当号- ,即x= 10.-3- 号Vm【解析】1D由∈[0，十o)知，d 2厄y=号时等号成立，所以，的最小值为故 2 -4x=x+1+1+1-4x-3≥4/·1·1·1 选B. 4x-3=4x-4x-3=-3,当且仅当x=1时，取到 二、选择题 最小值-3： 7.ACD【解析】对于A,由基本不等式知x十1≥ (2)由a>0,x∈[0，十oo)知.r-ax=+a6+ 33 2V·于=2，当且仅当x=1时取得等号，所以心 x av6-ax-2a3a≥3 3√3 9 -ax- 3√335 1时x十士>2，故A正确：对于B,显然x=一1时， 2a V3a =ax-ax 2a3a=2a3a,当且仅当 9 9 有x十1=一2，故B错误：对于C,易知√后十二 9 x x=a=a3@时，取到最小值-2a3@ 3√/3 9 9 =2,当且仅当x=1时取得等号，所以当 四、解答题 11.解：(1)因为不等式ax2-3x十2>0的解集 0<x<1时，W反+是 >2,故C正确；对于D,易知√( 为{x|x<1或x>b}(b>1), 可知1和b是方程ax2一3x十2=0的两个实数根且 +V~层-，当且仅当一2时取得等 a>0, 号，所以当x>2时左十2>22，故D正确.故 1+b= 3 a 可得 1·b= 2 选ACD. ·14· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 解得公二 (6分) 2c+a十b=c十a+c+b≥2√/(a+c)(c+b),当且 仅当a十c=c十b,即a=b时等号成立。 21油知8可得上+2=1. 故(1+a)(1+b)(1+c)≥8(a+b)(b+c)(c+a)= x y 8(1-a)(1-b)(1-c), 且x>0,y>0, 可得2x+=(2x+)(+号)=4+￥+g≥4 当且仅当a=b=c=号时等号成立。 (15分) 13.解：(1)y=50x-(2x2十10x)-98 +2√F=8, =-2x2+40x-98(x∈N) (4分) 当且仅当兰-号即二时，等号成立 (2)令-2x2+40x-98>0, y=4 得10-√5I<x<10+√5I, 即使2x十y取最小值时，x=2,y=4. (11分) 因为x∈N,故3≤x≤17， (ⅱ)由(i)可知，2x十y的最小值为8 (13分) 故从第3年该设备开始盈利」 (10分) 12,解：（1)因为号+c+女+a+云+b (3)方案①： a ≥2w√a+2√+2√ 义=-2x+40-98=40-(2x+98 )≤40- =2(a十b十c),当且仅当a=b=c时等号成立， 2V2×98=12, 放号+营+云≥a+6=1,当且仅当a=6= 当且仅当2：=婴，即x=7时等号成立. (13分) 宁时等号成立， 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获 利12×7+30=114万元. (14分) 做++云1成立。 方案②： a (7分) (2)(1+a)(1+b)(1+c)=(2a+b+c)(2b+a y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102, +c)(2c+a+b), 当x=10时，ymax=102. 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利 由基本不等式有2a十b+c=a十c十a十b≥ 102+12=114万元. (18分) 2√(a+c)(a+b),当且仅当a十c=a+b,即b=( 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时 时等号成立。 间较短，故方案①比较合理。 (20分) 2b+a十c=b+c+b+a≥2√(b+c)(a+b),当且 仅当b十c=b十a,即a=c时等号成立. ·15·