2018高考数学（理）冲刺最后30天之大题冲关系列（六）概率与随机变量及其分布的综合问题（课件+讲义+专项训练）（含2018年最新模拟题，全解析） (共4份打包)

概率与随机变量及其分布的综合问题 命题动向：通过近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力． 题型1 随机变量的分布列与均值 例1　　[2016·山东高考]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)． 解题视点　(1)首先根据题意确定所求事件的性质，将其转化为互斥事件(全部猜对和猜对3个)的概率之和，然后根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；(2)首先确定X的所有可能取值，确定其对应的事件，分别求出其概率，最后列出分布列，代入数学期望公式求解即可． 解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)·P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝×××＋2×＝. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. (2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝2×＝＝，P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，P(X＝4)＝2×＝＝，P(X＝6)＝×××＝＝. 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 冲关策略 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应． 变式训练1 为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养：若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： (1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； (2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a－b，求随机变量X的分布列及其数学期望． 解　(1)由题可知，建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是A2 ，A4，A5，A7，A10；建模能力指标为3的学生是A1，A3，A6，A8. 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A， 则P(A)＝＝. (2)由题可知，数学核心素养等级是一级的有：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养等级不是一级的有：A4，A7，A9，A10.X的所有可能取值为1,2,3,4,5. P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. ∴随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P ∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 题型2 分布列、期望的应用 例2　 [2017·全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间