回顾3 数 列-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

回顾3　数　列 1.等差数列、等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 前n项和公式 Sn==na1+d (1)q≠1，Sn==； (2)q=1，Sn=na1 2.判断或证明一个数列是等差(等比)数列的方法 判断一个数列为等差(等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(等比)数列的方法只有定义法、中项公式法. 3.等差数列、等比数列{an}的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*， 且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq； ②an=am+(n-m)d； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*， 且m+n=s+t， 则am·an=as·at； ②an=am·qn-m； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外) 4.数列求和的方法 (1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和. (2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. (3)裂项相消法：通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和. (4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. (5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an±bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(等比)数列或一些可以直接求和的数列. 1.等差数列的重要结论 设Sn为等差数列{an}的前n项和，则 (1)an能写成an=dn+a的形式，Sn能写成Sn=An2+Bn的形式，其中a≠0. (2)=n+是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (3)Sn====…. (4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m=m(am+am+1)，S偶-S奇=md=. (5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m-1=(2m-1)am，S奇-S偶=am=. 2.等比数列的重要结论 (1)an=kqn-1为指数型函数，Sn=A·qn-A. (2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列. (3)连续m项的和(如Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立). (4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则=q. (5)等比数列前n项和有：①Sm+n=Sm+qmSn； ②=(q≠±1). 1.(2024·兰州模拟)等差数列{an}的公差是2，若a1，a4，a13成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A.n(n+2) B.n(n+1) C.n2 D.n(n-1) 答案　A 解析　由已知得=a1·a13， 又因为{an}是公差为2的等差数列，设公差为d， 故(a1+3d)2=a1·(a1+12d)，即(a1+6)2=a1·(a1+24)，解得a1=3， 所以an=a1+(n-1)d=2n+1，故Sn==n(n+2). 2.(2024·长沙模拟)若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8等于(　　) A.16 B.32 C.64 D.128 答案　B 解析　由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”， 则-=0，可得= 所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列， 若正项数列为“梦想数列”， 则=所以=2， 即正项数列{bn}是公比为2的等比数列， 因为b1+b2+b3=1， 所以b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 3.(2024·杭州模拟)如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量，九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤(我国古代1两=24铢，1斤=16两)，从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2，若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　设“环权”的重量构成数列{an}，可得a1=1，a9=192， 由a3，a4，…，a9构成等比数列，公比为2，则an=a3·2n-3，n≥3，n∈N*，将a9=192代入， 可得a3=3，因为a1，a2，a3构成等差数列，可得d==1，所以an=n，n≤3，n∈N*， 所以2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铢的“环权”，可得需要3枚. 4.(2024·大庆模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，如果=(n∈N*)，那么的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由等差数列的性质知==== 又=(n∈N*)， 所以==. 5.(多选)(2024·鞍山模拟)下列命题正确的有(　　) A.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6，S9成等差数列 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3·…·a8=81 C.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S14>0，S15<0，则Sn的最大值是S7 D.若bn=(-1)n(4n-1)，则数列{bn}的前2 024项和为4 048 答案　BCD 解析　对于A，等差数列{an}的前n项和为Sn，令an=2n-1，则S3=9，S6=36，S9=81， 显然S3+S9≠2S6，即S3，S6，S9不成等差数列，故A错误； 对于B，{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=2a3a6=6，则a3a6=a1a8=3， 所以a1a2a3·…·a8=(a1a8)4=81，故B正确； 对于C，因为S14==7(a7+a8)>0，则a7+a8>0， S15==15a8<0，则a8<0，所以a7>0，d=a8-a7<0， 所以{an}为递减的等差数列，且a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…， 所以数列的前7项和最大，故C正确； 对于D，因为bn=(-1)n(4n-1)，所以数列{bn}的前2 024项和S2 024=(-3+7)+(-11+15)+…+[-(4×2 023-1)+(4×2 024-1)]=1 012×4=4 048，故D正确. 6.(多选)已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有(　　) A.an=6n-5 B.当k=2时，bn=2n-1 C.当k=2时，b19不是数列{an}中的项 D.若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6 答案　ABD 解析　对于A，因为an=1+6=6n-5，故A正确； 对于B，C，当k=2时，可知{bn}的公差d1=2， 所以bn=1+2=2n-1，故B正确； 对于C，b19=2×19-1=37，令an=6n-5=37，解得n=7， 所以b19是数列{an}中的项，故C错误； 对于D，当k=6时，可知{bn}的公差d2= 则b8=1+×7=7，又a2=1+6=7，即b8=a2， 所以若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6，故D正确. 7.(2024·广州模拟)若数列{an}对任意正整数n，有an+m=anq(其中m∈N*，q为常数，q≠0，q≠1)，则称数列{an}是以m为周期，q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{an}的前21项和为　　　　　.  答案　1 090 解析　由题意可知m=4，q=3，且an+4=3an， 故S21=(a1+a5+a9+a13+a17+a21)+(a2+a6+a10+a14+a18)+(a3+a7+a11+a15+a19)+(a4+a8+a12+a16+a20) =+++ =364+121+242+363=1 090. 8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=n2+n，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Tn，满足bn=则T2 024=　　　　.  答案　 解析　因为Sn为数列{an}的前n项和， 满足Sn=n2+n，n∈N*， 所以当n=1时，a1=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-=n， 因为当n=1时也满足an=n，所以an=n， 所以bn=== = 所以Tn= == 所以T2 024=. 9.(2024·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=a11=20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且=b6，b4-b2=12. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=求当cn取得最大值时n的值. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得a1=0，d=2， 所以an=2n-2， 设等比数列{bn}的公比为q(q>1)， 则解得 所以bn=2n. (2)由(1)得Sn==n(n-1)， 则cn== cn+1-cn=-= 当n=1，2时，c1<c2<c3， 当n=3时，c3=c4， 当n≥4，n∈N*时，c4>c5>…>cn， 所以当n=3或4时，cn取得最大值. 10.(2024·杭州模拟)已知等比数列{an}和等差数列{bn}，满足an+1>an，a1=b1=1，a2=b2，3a3=4b3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Pn.证明：Pn<-1. (1)解　等比数列{an}满足an+1>an，a1=1，所以{an}是递增数列， 设{an}的公比为q(q>1)，等差数列{bn}的公差为d，依题意可得 解得或(舍去)， 所以an=2n-1，bn=n. (2)证明　由(1)可得anbn=n·2n-1， 所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1， 2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n， 所以Tn=-(20+21+22+…+2n-1)+n·2n =-+n·2n=(n-1)·2n+1， 故==+ 又=-=- 即=-+- 所以Pn=-+-+-+-+…+-+- =+ =-2+1-=-1-<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前回顾 回顾3 数　列 必考知识 常用结论 内容索引 经典重温 必考知识 PART ONE 1.等差数列、等比数列   等差数列 等比数列 通项公式 an=_________ an=______(q≠0) 前n项和公式 Sn=_________=____________ (1)q≠1，Sn=_______=_______； (2)q=1，Sn=_____ a1+(n-1)d a1qn-1 na1+d na1 2.判断或证明一个数列是等差(等比)数列的方法 判断一个数列为等差(等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(等比)数列的方法只有定义法、中项公式法. 3.等差数列、等比数列{an}的常用性质   等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*， 且m+n=p+q， 则___________； ②an=am+_____d； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*， 且m+n=s+t， 则__________； ②an=am·_____； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外) am+an=ap+aq (n-m) am·an=as·at qn-m 4.数列求和的方法 (1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和. (2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. (3)裂项相消法：通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和. (4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. (5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an±bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(等比)数列或一些可以直接求和的数列. 常用结论 PART TWO 1.等差数列的重要结论 设Sn为等差数列{an}的前n项和，则 (1)an能写成an=dn+a的形式，Sn能写成Sn=An2+Bn的形式，其中a≠0. (2)=n+是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (3)Sn====…. (4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m=m(am+am+1)，S偶-S奇=md= . (5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m-1=(2m-1)am，S奇-S偶=am=. 2.等比数列的重要结论 (1)an=kqn-1为指数型函数，Sn=A·qn-A. (2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列. (3)连续m项的和(如Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立). (4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则=q. (5)等比数列前n项和有：①Sm+n=Sm+qmSn； ②=(q≠±1). 经典重温 PART THREE 1.(2024·兰州模拟)等差数列{an}的公差是2，若a1，a4，a13成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于 A.n(n+2)　　　　B.n(n+1)　　　　C.n2　　　　D.n(n-1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由已知得=a1·a13， 又因为{an}是公差为2的等差数列，设公差为d， 故(a1+3d)2=a1·(a1+12d)，即(a1+6)2=a1·(a1+24)，解得a1=3， 所以an=a1+(n-1)d=2n+1，故Sn==n(n+2). 2.(2024·长沙模拟)若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8等于 A.16　　　　B.32　　　　C.64　　　　D.128 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”， 则-=0，可得= 所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列， 若正项数列为“梦想数列”， 则=所以=2， 即正项数列{bn}是公比为2的等比数列， 因为b1+b2+b3=1，所以b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(2024·杭州模拟)如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量，九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤(我国古代1两=24铢，1斤=16两)，从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2，若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设“环权”的重量构成数列{an}，可得a1=1，a9=192， 由a3，a4，…，a9构成等比数列，公比为2， 则an=a3·2n-3，n≥3，n∈N*，将a9=192代入， 可得a3=3，因为a1，a2，a3构成等差数列， 可得d==1，所以an=n，n≤3，n∈N*， 所以2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铢的“环权”，可得需要3枚. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2024·大庆模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，如果= (n∈N*)，那么的值是 A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D. √ 由等差数列的性质知==== 又=(n∈N*)， 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(多选)(2024·鞍山模拟)下列命题正确的有 A.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6，S9成等差数列 B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3·…·a8=81 C.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S14>0，S15<0，则Sn的最大值是S7 D.若bn=(-1)n(4n-1)，则数列{bn}的前2 024项和为4 048 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 对于A，等差数列{an}的前n项和为Sn，令an=2n-1，则S3=9，S6=36，S9=81， 显然S3+S9≠2S6，即S3，S6，S9不成等差数列，故A错误； 对于B，{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=2a3a6=6，则a3a6=a1a8=3， 所以a1a2a3·…·a8=(a1a8)4=81，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于C，因为S14==7(a7+a8)>0，则a7+a8>0， S15==15a8<0，则a8<0，所以a7>0，d=a8-a7<0， 所以{an}为递减的等差数列，且a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…， 所以数列的前7项和最大，故C正确； 对于D，因为bn=(-1)n(4n-1)， 所以数列{bn}的前2 024项和S2 024=(-3+7)+(-11+15)+…+[-(4×2 023-1)+ (4×2 024-1)]=1 012×4=4 048，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有 A.an=6n-5 B.当k=2时，bn=2n-1 C.当k=2时，b19不是数列{an}中的项 D.若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 对于A，因为an=1+6=6n-5，故A正确； 对于B，C，当k=2时，可知{bn}的公差d1=2， 所以bn=1+2=2n-1，故B正确； 对于C，b19=2×19-1=37，令an=6n-5=37，解得n=7， 所以b19是数列{an}中的项，故C错误； 对于D，当k=6时，可知{bn}的公差d2= 则b8=1+×7=7，又a2=1+6=7，即b8=a2， 所以若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(2024·广州模拟)若数列{an}对任意正整数n，有an+m=anq(其中m∈N*，q为常数，q≠0，q≠1)，则称数列{an}是以m为周期，q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{an}的前21项和为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 090 由题意可知m=4，q=3，且an+4=3an， 故S21=(a1+a5+a9+a13+a17+a21)+(a2+a6+a10+a14+a18)+(a3+a7+a11+a15+a19) +(a4+a8+a12+a16+a20)=+++ =364+121+242+363=1 090. 8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=n2+n，n∈N*，数列{bn}的前n项 和为Tn，满足bn=则T2 024=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=n2+n，n∈N*， 所以当n=1时，a1=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-=n， 因为当n=1时也满足an=n，所以an=n， 所以bn==== 所以Tn=== 所以T2 024=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2024·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=a11=20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且=b6，b4-b2=12. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设等差数列{an}的公差为d， 则解得a1=0，d=2， 所以an=2n-2， 设等比数列{bn}的公比为q(q>1)， 则 所以bn=2n. (2)设cn=求当cn取得最大值时n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由(1)得Sn==n(n-1)， 则cn==cn+1-cn=-= 当n=1，2时，c1<c2<c3， 当n=3时，c3=c4， 当n≥4，n∈N*时，c4>c5>…>cn， 所以当n=3或4时，cn取得最大值. 10.(2024·杭州模拟)已知等比数列{an}和等差数列{bn}，满足an+1>an，a1=b1=1，a2=b2，3a3=4b3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列{an}满足an+1>an，a1=1，所以{an}是递增数列， 设{an}的公比为q(q>1)，等差数列{bn}的公差为d， 依题意可得 解得(舍去)， 所以an=2n-1，bn=n. (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Pn.证明：Pn<-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由(1)可得anbn=n·2n-1， 所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1， 2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n， 所以Tn=-(20+21+22+…+2n-1)+n·2n=-+n·2n=(n-1)·2n+1， 故==+ 又=-=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即=-+- 所以Pn=-+-+-+-+…+-+- =+ =-2+1-=-1-<-1. $$