05 章末过关检测卷(五) (第十章 概率)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末过关检测卷(五)(第十章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.某人有五把钥匙,其中两把可把门打开,随机取一把开门,如果打不开,则将其不放回,再从剩下的钥匙中取一把开门,那么第二次才将门打开的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设第i(i=1,2)次打开门为事件Ai,则第二次才将门打开的概率为P(A2)==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 2.在一个试验中,某种豚鼠被感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]内整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数: 192　907　966　925　271 932　812　458　569　683 257　393　127　556　488 730　113　537　989　431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(　　) A.0.25　 B.0.4 C.0.6　 D.0.75 【解析】选D.由题意,事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染,随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907,966,569,556,989,共5个,故三只豚鼠都没被感染的概率为=0.25,则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1-0.25=0.75. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 3.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为 (　　) A.2　 B.3 C.4　 D.5 【解析】选C.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 4.设事件A,B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(A∪B)=(　　) A.0.36　 B.0.504 C.0.54　 D.0.9 【解析】选C.根据题意,A与B互斥,A,相互独立,,B相互独立, 故P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.7+0.4×0.3=0.54. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 5.从1,2,3,4这四个数字中依次不放回地取两个数字a,b,使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为lg(3a)≥lg(4b),所以3a≥4b>0.从1,2,3,4这四个数字中不放回地依次取两个数字所包含的样本点有(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),共12个,符合条件3a≥4b的有(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共6个,所以所求概率P==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 6.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数”.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从五个“阳数”中随机抽取三个数,则能使 这三个数之和等于15的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.从五个“阳数”1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法,符合题意的有2种{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 7.从一批苹果中随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下: 用按比例分配的分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个,再从抽取的4个苹果中任取2个,则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频数 5 10 20 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选C.设从质量在[80,85)内的苹果中抽取x个,则从质量在[95,100]内的苹果中抽取(4-x)个,因为频数分布表中[80,85),[95,100]两组的频数分别为5,15,所以5∶15=x∶(4-x),解得x=1,即抽取的4个苹果中质量在[80,85)内的有1个,记为a,质量在[95,100]内的有3个,记为b1,b2,b3,任取2个有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3,共6个样本点,其中有1个苹果的质量在[80,85)内的样本点有ab1,ab2,ab3,共3个,所以所求概率为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 8.某公交线路某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点Ai(i=1,2,3)下车是等可能的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选A.设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”.因为每个人在站点Ai(i=1,2,3)下车是等可能的,所以均为,所以甲、乙两人同在A1站下车的概率为=;甲、乙两人同在A2站下车的概率为=;甲、乙两人同在A3站下车的概率为=,所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P()=++=,所以P(A)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.根据所学的概率知识,下列说法正确的是(　　) A.一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是 B.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 C.乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的 D.某地发行福利彩票,回报率为47%,某人用100元买该福利彩票,一定会有47元的回报 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选AC.一年按365天计算,每个人的生日只占其中一天,故两名学生的生日相同的概率是,故A项正确;5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,两个人抽到有奖奖券的可能性相等,故B项错误;从1~10共10个数字中各抽取1个,每个数字被抽到的概率是相同的,因此可以用来比较大小,这种抽签方法是公平的,故C项正确;某人用100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故D项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 10.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张都为红色”互斥而不对立的事件有 (　　) A.2张不全为红色 B.2张恰有一张红色 C.2张至少有一张红色 D.2张都为绿色 【解析】选BD.6张卡片中一次任意取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张为红色1张为绿色”“1张为红色1张为蓝色”“1张为绿色1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”,其中“2张至少有一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥事件,“2张不全为红色”与“2张都为红色”是对立事件. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 11.一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各零件故障情况发生的次数,得到如下统计图,由频率估计概率,在一个生产周期内,以下说法正确的是 (　　) A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选AD.由题图可得,在一个生产周期内,机器正常的概率为=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,A项正确;有两个零件发生故障的概率为=0.3,只有一个零件发生故障的概率为=0.45,则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小,B项错误;乙零件发生故障的概率为=0.4,甲零件发生故障的概率为=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小,C项错误;由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图,估计用电量落在[220,300]中的概率是_________.  【解析】由题意和频率分布直方图可知月平均用电量在[220,330]中的概率P=1-(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.55. 　0.55　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 13.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为______,“是整数”的概率为 ______.  【解析】因为在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,所以样本点总数n=4×3=12. “不是整数”包含的样本点有,,,,,,,,共8个,所以“不是整数”的概率为=.“是整数”与“不是整数”是对立事件,其概率为1-=. 　　 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 14.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是______.  【解析】这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为(1-)n=()n,则P2=1-()n. 由1-()n≥0.9,得()n≤.又n∈N*, 解得n≥4,则n的最小值为4. 　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 四、解答题(共77分) 15.(13分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件,求P(A); 【解析】(1)甲、乙出手指都有5种可能,因此样本点的总数为5×5=25,事件A包括甲、乙出的手指的样本点有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共5个,所以P(A)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,则B与C是否为互斥事件?试说明理由; 【解析】(2)B与C不是互斥事件.理由如下:因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意,所以B与C不是互斥事件. (3)这种游戏公平吗?试说明理由. 【解析】(3)这种游戏不公平.由(1)知和为偶数的样本点的总数为13,即(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5). 所以甲赢的概率为,乙赢的概率为. 所以这种游戏不公平. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 16.(15分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作,办公室里只有一部电话机,设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为,,.若一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立,求: (1)这三个电话是打给同一个人的概率; 【解析】(1)由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式得,所求的概率为()3+()3+()3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率. 【解析】(2)设“第i个电话打给甲”为事件Ai(i=1,2,3), 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为A1A2+A1A3+A2A3, 其概率为P(A1A2+A1A3+A2A3) =P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3) =P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3) =×(1-)+×(1-)×+(1-)×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 17.(15分)随着智能手机等电子产品的普及,“低头族”正成为现代社会的一个流行词.在路上、在餐厅里、在公交车上,随处可见低头玩手机的人,这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情,也对人们的健康构成一定的影响.为此,某报社发起一项专题调查,记者随机采访了M名市民,得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间(单位:时),根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如图所示. 分组 频数 频率 [0,0.5) 4 0.10 [0.5,1) m p [1,1.5) 10 n [1.5,2) 6 0.15 [2,2.5) 4 0.10 [2.5,3] 2 0.05 合计 M 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (1)求出表中的M,p及图中a的值; 【解析】(1)因为在[0,0.5)内的频数是4,频率是0.10,所以=0.10,得M=40, 所以4+m+10+6+4+2=40,得m=14. 所以在[0.5,1)内的频率p===0.35. 因为a是[0.5,1)内频率与组距的商,所以a===0.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间(同一组的数据用该组的中间值作代表); 【解析】(2)由(1)可得n==0.25,设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x,则 x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05= 1.225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)在所取样本中,从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人,求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的概率. 【解析】(3)在所取样本中,一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人,设一天内低头玩手机的时间在区间[2,2.5)内的人为a1,a2,a3,a4,在区间[2.5,3]内的人为b1,b2,则任取2人的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15个,其中两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共6个,所以两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的概率P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 18.(17分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; 【解析】(1)甲连胜四场的概率为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)求需要进行第五场比赛的概率; 【解析】(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为=; 乙连胜四场的概率为=; 丙上场后连胜三场的概率为=. 所以需要进行第五场比赛的概率为1---=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)求丙最终获胜的概率. 【解析】(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况,即胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,. 因此丙最终获胜的概率为+++=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 19.(17分)某种植园在杧果临近成熟时,随机从一些杧果树上摘下100个杧果,其质量分布在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650](单位:克)中,经统计,所得数据的频率分布直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数; 【解析】(1)由题中频率分布直方图知,各区间频率为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08,这组数据的平均数为=0.17×200+0.20×300+0.30×400+0.25×500+0.08×600=387(克). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)在样本中,按分层随机抽样从质量在[250,350),[350,450)的杧果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个杧果都来自同一个质量区间的概率; 【解析】(2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个杧果,则质量在[250,350)内的杧果有2个,记为a1,a2,质量在[350,450)内的杧果有3个,记为b1,b2,b3;从抽取的5个杧果中抽取2个,共有10种不同情况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), (b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).记事件A为“这2个杧果都来自同一个质量区间”,则A有4种不同情况:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).从而P(A)==,故这2个杧果都来自同一个质量区间的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)某经销商来收购杧果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中共有杧果大约10 000个,经销商提出以下两种收购方案:方案一,所有杧果以10元/千克收购;方案二,对质量低于350克的杧果以3元/个收购,对质量高于或等于350克的杧果以5元/个收购.请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多. 【解析】(3)方案一的收入为y1=×10 000×10=×10 000×10=38 700(元); 方案二中,低于350克的杧果收入为(0.17+0.2)×10 000×3=11 100(元), 不低于350克的杧果收入为(0.3+0.25+0.08)×10 000×5=31 500(元), 故方案二的收入为y2=11 100+31 500=42 600(元). 由于42 600>38 700,所以选择方案二获利更多.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 $ 章末过关检测卷(五)(第十章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.某人有五把钥匙,其中两把可把门打开,随机取一把开门,如果打不开,则将其不放回,再从剩下的钥匙中取一把开门,那么第二次才将门打开的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设第i(i=1,2)次打开门为事件Ai,则第二次才将门打开的概率为P(A2)==. 2.在一个试验中,某种豚鼠被感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]内整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数: 192　907　966　925　271 932　812　458　569　683 257　393　127　556　488 730　113　537　989　431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 (　　) A.0.25　 B.0.4 C.0.6　 D.0.75 【解析】选D.由题意,事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染,随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907,966,569,556,989,共5个,故三只豚鼠都没被感染的概率为=0.25,则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1-0.25=0.75. 3.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为 (　　) A.2　 B.3 C.4　 D.5 【解析】选C.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个. 4.设事件A,B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(A∪B)= (　　) A.0.36　 B.0.504 C.0.54　 D.0.9 【解析】选C.根据题意,A与B互斥,A,相互独立,,B相互独立, 故P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.7+0.4×0.3=0.54. 5.从1,2,3,4这四个数字中依次不放回地取两个数字a,b,使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为lg(3a)≥lg(4b),所以3a≥4b>0.从1,2,3,4这四个数字中不放回地依次取两个数字所包含的样本点有(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),共12个,符合条件3a≥4b的有(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共6个,所以所求概率P==. 6.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数”.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从五个“阳数”中随机抽取三个数,则能使这三个数之和等于15的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.从五个“阳数”1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法,符合题意的有2种{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率为=. 7.从一批苹果中随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下: 分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频数 5 10 20 15 用按比例分配的分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个,再从抽取的4个苹果中任取2个,则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】选C.设从质量在[80,85)内的苹果中抽取x个,则从质量在[95,100]内的苹果中抽取(4-x)个,因为频数分布表中[80,85),[95,100]两组的频数分别为5,15,所以5∶15=x∶(4-x),解得x=1,即抽取的4个苹果中质量在[80,85)内的有1个,记为a,质量在[95,100]内的有3个,记为b1,b2,b3,任取2个有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3,共6个样本点,其中有1个苹果的质量在[80,85)内的样本点有ab1,ab2,ab3,共3个,所以所求概率为=. 8.某公交线路某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点Ai(i=1,2,3)下车是等可能的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”.因为每个人在站点Ai(i=1,2,3)下车是等可能的,所以均为,所以甲、乙两人同在A1站下车的概率为=;甲、乙两人同在A2站下车的概率为=;甲、乙两人同在A3站下车的概率为=,所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P()=++=,所以P(A)=1-=. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.根据所学的概率知识,下列说法正确的是 (　　) A.一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是 B.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 C.乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的 D.某地发行福利彩票,回报率为47%,某人用100元买该福利彩票,一定会有47元的回报 【解析】选AC.一年按365天计算,每个人的生日只占其中一天,故两名学生的生日相同的概率是,故A项正确;5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,两个人抽到有奖奖券的可能性相等,故B项错误;从1~10共10个数字中各抽取1个,每个数字被抽到的概率是相同的,因此可以用来比较大小,这种抽签方法是公平的,故C项正确;某人用100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故D项错误. 10.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张都为红色”互斥而不对立的事件有 (　　) A.2张不全为红色 B.2张恰有一张红色 C.2张至少有一张红色 D.2张都为绿色 【解析】选BD.6张卡片中一次任意取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张为红色1张为绿色”“1张为红色1张为蓝色”“1张为绿色1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”,其中“2张至少有一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥事件,“2张不全为红色”与“2张都为红色”是对立事件. 11.一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各零件故障情况发生的次数,得到如下统计图,由频率估计概率,在一个生产周期内,以下说法正确的是 (　　) A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 【解析】选AD.由题图可得,在一个生产周期内,机器正常的概率为=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,A项正确;有两个零件发生故障的概率为=0.3,只有一个零件发生故障的概率为=0.45,则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小,B项错误;乙零件发生故障的概率为=0.4,甲零件发生故障的概率为=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小,C项错误;由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D项正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图,估计用电量落在[220,300]中的概率是　0.55　.  【解析】由题意和频率分布直方图可知月平均用电量在[220,330]中的概率P=1-(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.55. 13.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为　　,“是整数”的概率为　　.  【解析】因为在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,所以样本点总数n=4×3=12. “不是整数”包含的样本点有,,,,,,,,共8个,所以“不是整数”的概率为=.“是整数”与“不是整数”是对立事件,其概率为1-=. 14.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是　4　.  【解析】这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为(1-)n=()n,则P2=1-()n. 由1-()n≥0.9,得()n≤.又n∈N*, 解得n≥4,则n的最小值为4. 四、解答题(共77分) 15.(13分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件,求P(A); 【解析】(1)甲、乙出手指都有5种可能,因此样本点的总数为5×5=25,事件A包括甲、乙出的手指的样本点有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共5个,所以P(A)==. (2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,则B与C是否为互斥事件?试说明理由; 【解析】(2)B与C不是互斥事件.理由如下:因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意,所以B与C不是互斥事件. (3)这种游戏公平吗?试说明理由. 【解析】(3)这种游戏不公平.由(1)知和为偶数的样本点的总数为13,即(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5). 所以甲赢的概率为,乙赢的概率为. 所以这种游戏不公平. 16.(15分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作,办公室里只有一部电话机,设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为,,.若一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立,求: (1)这三个电话是打给同一个人的概率; 【解析】(1)由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式得,所求的概率为()3+()3+()3=. (2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率. 【解析】(2)设“第i个电话打给甲”为事件Ai(i=1,2,3), 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为A1A2+A1A3+A2A3, 其概率为P(A1A2+A1A3+A2A3) =P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3) =P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3) =×(1-)+×(1-)×+(1-)×=. 17.(15分)随着智能手机等电子产品的普及,“低头族”正成为现代社会的一个流行词.在路上、在餐厅里、在公交车上,随处可见低头玩手机的人,这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情,也对人们的健康构成一定的影响.为此,某报社发起一项专题调查,记者随机采访了M名市民,得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间(单位:时),根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如图所示. 分组 频数 频率 [0,0.5) 4 0.10 [0.5,1) m p [1,1.5) 10 n [1.5,2) 6 0.15 [2,2.5) 4 0.10 [2.5,3] 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中的M,p及图中a的值; 【解析】(1)因为在[0,0.5)内的频数是4,频率是0.10,所以=0.10,得M=40, 所以4+m+10+6+4+2=40,得m=14. 所以在[0.5,1)内的频率p===0.35. 因为a是[0.5,1)内频率与组距的商,所以a===0.7. (2)试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间(同一组的数据用该组的中间值作代表); 【解析】(2)由(1)可得n==0.25,设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x,则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225. (3)在所取样本中,从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人,求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的概率. 【解析】(3)在所取样本中,一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人,设一天内低头玩手机的时间在区间[2,2.5)内的人为a1,a2,a3,a4,在区间[2.5,3]内的人为b1,b2,则任取2人的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15个,其中两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共6个,所以两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2,2.5)内的概率P==. 18.(17分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; 【解析】(1)甲连胜四场的概率为=. (2)求需要进行第五场比赛的概率; 【解析】(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为=; 乙连胜四场的概率为=; 丙上场后连胜三场的概率为=. 所以需要进行第五场比赛的概率为1---=. (3)求丙最终获胜的概率. 【解析】(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况,即胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,. 因此丙最终获胜的概率为+++=. 19.(17分)某种植园在杧果临近成熟时,随机从一些杧果树上摘下100个杧果,其质量分布在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650](单位:克)中,经统计,所得数据的频率分布直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数; 【解析】(1)由题中频率分布直方图知,各区间频率为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08,这组数据的平均数为=0.17×200+0.20×300+0.30×400+0.25×500+0.08×600=387(克). (2)在样本中,按分层随机抽样从质量在[250,350),[350,450)的杧果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个杧果都来自同一个质量区间的概率; 【解析】(2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个杧果,则质量在[250,350)内的杧果有2个,记为a1,a2,质量在[350,450)内的杧果有3个,记为b1,b2,b3;从抽取的5个杧果中抽取2个,共有10种不同情况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).记事件A为“这2个杧果都来自同一个质量区间”,则A有4种不同情况:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).从而P(A)==,故这2个杧果都来自同一个质量区间的概率为. (3)某经销商来收购杧果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中共有杧果大约10 000个,经销商提出以下两种收购方案:方案一,所有杧果以10元/千克收购;方案二,对质量低于350克的杧果以3元/个收购,对质量高于或等于350克的杧果以5元/个收购.请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多. 【解析】(3)方案一的收入为y1=×10 000×10=×10 000×10=38 700(元); 方案二中,低于350克的杧果收入为(0.17+0.2)×10 000×3=11 100(元), 不低于350克的杧果收入为(0.3+0.25+0.08)×10 000×5=31 500(元), 故方案二的收入为y2=11 100+31 500=42 600(元). 由于42 600>38 700,所以选择方案二获利更多. - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $