2018高考数学（理）冲刺最后30天之大题冲关系列（五）圆锥曲线的综合问题（课件+讲义+专项训练）（含2018年最新模拟题，全解析） (共4份打包)

圆锥曲线的综合问题 命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决． 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 例1　　[2017·北京高考]已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 解题视点　(1)根据抛物线上一个定点的坐标可得抛物线方程，从而得其焦点坐标与准线方程；(2)先利用点斜式设出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，根据根与系数的关系，得交点坐标间的关系进而证明结论． 解　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝. 所以抛物线C的方程为y2＝x. 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－. (2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)． 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为. 因为y1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1， 故A为线段BM的中点． 冲关策略 涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法． 变式训练1 已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积． 解　(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得c＝. 又e＝＝，∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝2， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝2，得 设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得 (2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 将x1＝－2x2代入上式，可得2＝， 解得k2＝. ∴△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2| ＝＝·＝. 题型2 圆锥曲线中的定点、定值问题 命题角度1　定点问题 例2　　[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上． (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点． 解题视点　(1)利用待定系数法可求出椭圆C的方程；(2)把直线l分斜率是否存在进行分类讨论，当直线l的斜率不存在时，易得结论；当直线l的斜率存在时，利用斜截式设出直线l的方程，并把它与第(1)小问求出的椭圆方程联立，利用根与系数的关系式，以及过两点的斜率公式，即可证出直线l过定点． 解　(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点． 又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上． 因此解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设． 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)． 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 而k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝. 由题设k1＋k2＝－1， 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0， 解得k＝－. 当且仅当m＞－1时，Δ＞0， 于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)， 所以l过定点(2，－1)． 命题角度2　定值问题 例3　　[2016·北京高考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点