第4章 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 ［学习目标］　1.掌握等差数列的性质及应用.2.可由等差数列构造新数列.3.能灵活设项解等差数列.4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 导语 等差数列作为一种特殊数列，一定具有其特殊的性质，今天我们将一探究竟. 一、等差数列的性质 问题1　如果｛an｝是等差数列，a3=5，d=2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3=a1+2d，an=a1+（n-1）d，两式相减得an-a3=（n-3）d，即an=a3+（n-3）d.所以an=2n-1. 问题2　若数列｛an｝是等差数列，公差为d，m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am=a1+（m-1）d，an=a1+（n-1）d，ap=a1+（p-1）d，aq=a1+（q-1）d，容易发现am+an=2a1+（m+n-2）d，ap+aq=2a1+（p+q-2）d，因为m+n=p+q，故有am+an=ap+aq. 知识梳理 1.设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，则 （1）an=dn+（a1-d）（n∈N*）； （2）an=am+（n-m）d（m，n∈N*）； （3）d=（m，n∈N*，且m≠n）. 2.下标性质：在等差数列｛an｝中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq. 特别地，若m+n=2p（m，n，p∈N*），则有am+an=2ap. 注意点： （1）推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. 例1　（1）已知｛an｝为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 解　方法一　（利用an=am+（n-m）d） 设数列 ｛an｝的公差为d， 则a60=a15+（60-15）d=8+45d=20， 所以d===， 所以a75=a60+（75-60）d=20+15×=24. 方法二　（利用隔项成等差数列） 因为｛an｝为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60=a15+3d，解得d=4， 所以a75=a60+d=24. （2）已知数列｛an｝是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于（　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n-1） 答案　B 解析　因为a1-a9+a17=（a1+a17）-a9=2a9-a9=a9=7， 所以a3+a15=2a9=2×7=14. 延伸探究　在等差数列｛an｝中，a3+a7+2a15=40，求a10. 解　方法一　设数列｛an｝的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2（a1+14d） =4a1+36d=4（a1+9d） =4a10=40， ∴a10=10. 方法二　∵a3+a7+2a15=（a3+a15）+（a7+a15）=2a9+2a11=2（a9+a11）=4a10=40，∴a10=10. 反思感悟　（1）灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+（n-m）d即变为an=a1+（n-1）d，可以减少记忆负担. （2）等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r（m，n，p，q，r∈N*），则am+an=ap+aq=2ar. 跟踪训练1　（1）已知｛bn｝为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　　　.  答案　8 解析　方法一　∵｛bn｝为等差数列，∴可设其公差为d， 则d===2， ∴bn=b3+（n-3）d=2n-8. ∴b8=2×8-8=8. 方法二　由==d， 得b8=×5+b3=2×5+（-2）=8. （2）数列｛an｝满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9，则log6（a5+a7+a9）的值是（　　） A.-2 B.- C.2 D. 答案　C 解析　由3+an=an+1， 得an+1-an=3. 所以｛an｝是公差为3的等差数列. 又a2+a4+a6=9， 且a2+a6=2a4， 所以3a4=9， 则a4=3， 所以a7=a4+3d=3+3×3=12， 故log6（a5+a7+a9）=log6（3a7）=log636=2. 二、由等差数列构造新数列 问题3　若数列｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d，在｛an｝中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示　设新数列为，公差为d'，则有b1=a1，b6=a2，所以b6-b1=a2-a1=d，故有5d'=d，所以d'=d. 知识梳理　 若｛an｝，｛bn｝分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 ｛c+an｝ 公差为d的等差数列（c为任一常数） ｛c·an｝ 公差为cd的等差数列（c为任一常数） ｛an+an+k｝ 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*） ｛pan+qbn｝ 公差为pd+qd'的等差数列（p，q为常数） 例2　在无穷等差数列｛an｝中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列｛bn｝. （1）求b1和b2； （2）求数列｛bn｝的通项公式； （3）数列｛bn｝中的第503项是｛an｝中的第几项？ 解　（1）∵a1=3，d=-5， ∴an=3+（n-1）×（-5）=8-5n. 数列｛an｝中序号被4除余3的项是｛an｝中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1=a3=-7，b2=a7=-27. （2）设数列｛an｝中的第m项是数列｛bn｝中的第n项，即bn=am，则m=3+4（n-1）=4n-1，∴bn=am=a4n-1=8-5×（4n-1）=13-20n，即数列｛bn｝的通项公式为bn=13-20n. （3）3+4×（503-1）=2 011，∴数列｛bn｝中的第503项是数列｛an｝中的第2011项. 延伸探究　有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 答案　B 解析　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an=12n-10， 所以12n-10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16. 反思感悟　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： （1）定义：an-an-1（n≥2）是否为常数； （2）其通项公式是否为关于n的一次函数. 跟踪训练2　已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…，与｛bn｝：3，7，11，…，它们的公共项组成数列｛cn｝，则数列｛cn｝的通项公式cn=　　　　；若数列｛an｝和｛bn｝的项数均为100，则｛cn｝的项数是　　　　.  答案　12n-1　25 解析　由于数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，所以｛cn｝也是等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11，故cn=11+12（n-1）=12n-1.又a100=302，b100=399，所以11≤12n-1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故｛cn｝的项数为25. 三、灵活设项求解等差数列 例3　已知四个数成等差数列，它们的和为32，它们的平方和为276，求这四个数. 解　设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d. 则 解得或 ∴这四个数为5，7，9，11或11，9，7，5. 反思感悟　常见设项技巧 （1）当等差数列｛an｝的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. （2）当等差数列｛an｝的项数n为偶数时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，这样可减少计算量. 跟踪训练3　已知递增的等差数列｛an｝的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列｛an｝的通项公式. 解　方法一　根据题意，设等差数列｛an｝的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d， 则 即 解得或 因为数列｛an｝为递增数列，所以 从而等差数列｛an｝的通项公式为an=4n-1. 方法二　由于数列｛an｝为等差数列，因此可设前三项分别为a-d，a，a+d， 由题意得 即解得或 由于数列｛an｝为递增数列，因此 从而an=4n-1. 四、等差数列的应用 例4　已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. （1）若a20=40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； （3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 解　（1）依题意得，a10=10，a20=10+10d=40，所以d=3. （2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0）， 故a30=10， 当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30的取值范围为. （3）所给数列可推广为无穷数列｛an｝，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列. 反思感悟　解决数列综合问题的方法策略 （1）结合等差数列的性质或利用等差中项. （2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. （3）利用函数或不等式的有关方法解决. 跟踪训练4　已知数列｛an｝是等差数列，a4=15，a7=27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　） A.4 B. C.-4 D.- 答案　A 解析　由数列｛an｝是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k==4. 1.知识清单： （1）等差数列的性质. （2）由等差数列构造新数列. （3）灵活设项解等差数列. （4）等差数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： （1）不注意运用性质而出错或解法烦琐. （2）实际问题中项数的确定. 1.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 答案　C 解析　因为（an+1+an+3）-（an+an+2）=（an+1-an）+（an+3-an+2）=2d， 所以数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…是公差为2d的等差数列. 2.已知等差数列｛am｝满足am-1+am+1--1=0，且m>1，则a1+a2m-1=　　　　.  答案　2 解析　∵am-1+am+1=2am， ∴2am--1=0， 即（am-1）2=0，∴am=1， ∴a1+a2m-1=2am=2. 3.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为　　　　.  答案　-2，2，6或6，2，-2 解析　设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得或 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. 4.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0（m，n∈R，且m≠n）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d=　　　　，m+n的值为　　　　.  答案　　 解析　设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=x3+x4=1（且1-4m>0，1-4n>0）. 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1=， ∴x2=，数列的公差d==， ∴数列的中间两项分别为+=，+=. ∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=. ∴m+n=+=. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知数列｛an｝，｛bn｝都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列｛an+bn｝的第37项为（　　） A.0 B.37 C.100 D.-37 答案　C 解析　设等差数列｛an｝，｛bn｝的公差分别为d1，d2， 则（an+1+bn+1）-（an+bn）=（an+1-an）+（bn+1-bn）=d1+d2， 所以数列｛an+bn｝仍然是等差数列. 又d1+d2=（a2+b2）-（a1+b1）=100-（25+75）=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 2.在递增的等差数列｛an｝中，a3+a6=-6，a4a5=8，公差d等于（　　） A.4 B.2 C.-2 D.2或-2 答案　B 解析　因为在递增的等差数列｛an｝中，a3+a6=a4+a5=-6，a4a5=8， 所以a4=-4，a5=-2， 则公差d=a5-a4=2. 3.已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（　　） A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 答案　C 解析　由等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51， 由于a1+a2+a3+…+a101=0，所以a51=0， 故a3+a99=2a51=0. 4.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是（　　） A.470 B.472 C.474 D.476 答案　B 解析　由图中“正方形筛子”给出的信息，可得第1列是首项为4，公差为3的等差数列，第i行是公差为2i+1的等差数列，则第7行的第1个数是4+6×3=22，即第7行是首项为22，公差为15的等差数列，所以第7行第31列的数是22+30×15=472. 5.（多选）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（　　） A.冬至的日影子长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 答案　ACD 解析　依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列｛an｝（n∈N*，n≤12）是等差数列，因此，a1+a4+a7=37.5，而a1+a7=2a4，解得a4=12.5，又a12=4.5，设数列｛an｝的公差为d，于是得解得A正确；a10-a9=-1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确；而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确；a8=a1+（8-1）d=8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确. 6.在1和19之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当+取最小值时，n的值是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　设等差数列的公差为d，则a=1+d，b=19-d，从而a+b=20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以（a+b）=1+16++≥17+2=25， 即+≥=，当且仅当=， 即b=4a时取“=”，又a=1+d，b=19-d，解得d=3，所以19=1+（n+1）×3，所以n=5. 7.（5分）已知数列｛an｝满足a1=1，若点在直线x-y+1=0上，则an=　　　　.  答案　n2（n∈N*） 解析　由题设可得-+1=0， 即-=1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为=n，所以an=n2（n∈N*）. 8.（5分）若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为　　　　.  答案　1或2 解析　∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c， ∴Δ=4b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0. ∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. 9.（10分）在等差数列｛an｝中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 解　方法一　设公差为d， 则d===-1， 从而am+n=am+（m+n-m）d=n+n·（-1）=0. 方法二　设等差数列的通项公式为an=an+b（a，b为常数）， 则 得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a（m+n）+b=0. 10.（11分）在等差数列-5，-，-2，-，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. （1）求新数列的通项公式；（5分） （2）28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由.（6分） 解　（1）原数列的公差d=--（-5）=，所以新数列的公差d'=d=，故新数列的通项公式为an=-5+（n-1）=n-. （2）令-=28，得n=45，所以28是新数列中的项，是第45项. 11.（多选）若｛an｝是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（　　） A.｛|an|｝ B.｛an+1-an｝ C.｛pan+q｝（p，q为常数） D.｛2an+n｝ 答案　BCD 解析　数列-1，1，3是等差数列， 取绝对值后，1，1，3不是等差数列，A不成立； 若｛an｝是等差数列，利用等差数列的定义知， ｛an+1-an｝为常数列，故是等差数列，B成立； 若｛an｝的公差为d， 则（pan+1+q）-（pan+q）=p（an+1-an）=pd为常数，故｛pan+q｝是等差数列，C成立； （2an+1+n+1）-（2an+n）=2（an+1-an）+1=2d+1为常数，故｛2an+n｝是等差数列，D成立. 12.等差数列｛an｝中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+a2 023等于（　　） A.10 B.15 C.20 D.40 答案　B 解析　∵a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 022=10， 由等差数列的性质得2a1 012=10，即a1 012=5， ∴a1+a1 012+a2 023=3a1 012=15. 13.将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛an｝，则a10等于（　　） A.190 B.211 C.232 D.253 答案　A 解析　由题意可得an能被3除余1，且被7除余1， 则an-1是21的倍数，即an-1=21，即an=21n-20， ∴a10=21×10-20=190. 14.（5分）等差数列｛an｝，满足对任意n∈N*都有=，则+=　　　　.  答案　1 解析　由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6，a7+a5=2a6， 所以+====1. 15.（5分）在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是　　　　.  * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 答案　142 解析　记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x， 所以2x+y=113. ① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x， 所以2×74-3y=3×103-4x， 即4x-3y=161， ② 解①②，得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格应填142. 16.（12分）有一批小家电原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电，则去哪一家商场购买花费较少？ 解　设某单位需购买小家电n台. 在甲商场购买时，所买小家电的售价构成等差数列｛an｝，an=780+（n-1）×（-20）=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800-20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用（800-20n）n-600n=20n（10-n）. 当n<10时，（800-20n）n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，（800-20n）n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，（800-20n）n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买小家电台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买小家电10台时，到两家商场购买花费相同；当购买小家电台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第四章 <<< 等差数列的性质及应用 1.掌握等差数列的性质及应用. 2.可由等差数列构造新数列. 3.能灵活设项解等差数列. 4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 学习目标 等差数列作为一种特殊数列，一定具有其特殊的性质，今天我们将一探究竟. 导 语 一、等差数列的性质 二、由等差数列构造新数列 课时对点练 三、灵活设项求解等差数列 随堂演练 内容索引 四、等差数列的应用 一 等差数列的性质 如果{an}是等差数列，a3=5，d=2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 问题1 提示　由定义可知a3=a1+2d，an=a1+(n-1)d，两式相减得an-a3=(n-3)d，即an=a3+(n-3)d.所以an=2n-1. 若数列{an}是等差数列，公差为d，m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 问题2 提示　由等差数列的定义可知，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，故有am+an=ap+aq. 1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N*)； (2)an=am+ (m，n∈N*)； (3)d= (m，n∈N*，且m≠n). 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am+an= . 特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N*)，则有am+an= . (n-m)d ap+aq 2ap 知识梳理 (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. 注 意 点 <<< 9 (1)已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 例 1 10 方法一　(利用an=am+(n-m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20， 所以d===， 所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60=a15+3d，解得d=4， 所以a75=a60+d=24. (2)已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) √ 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7， 所以a3+a15=2a9=2×7=14. 在等差数列{an}中，a3+a7+2a15=40，求a10. 延伸探究 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d) =4a1+36d=4(a1+9d) =4a10=40， ∴a10=10. 方法二　∵a3+a7+2a15=(a3+a15)+(a7+a15)=2a9+2a11=2(a9+a11)=4a10=40，∴a10=10. (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q =2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am+an=ap+aq=2ar. 反 思 感 悟 15 (1)已知{bn}为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　　.  跟踪训练 1 8 方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d===2， ∴bn=b3+(n-3)d=2n-8. ∴b8=2×8-8=8. 方法二　由==d， 得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8. 16 (2)数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是 A.-2 B.- C.2 D. √ 17 由3+an=an+1， 得an+1-an=3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2+a4+a6=9， 且a2+a6=2a4， 所以3a4=9， 则a4=3， 所以a7=a4+3d=3+3×3=12， 故log6(a5+a7+a9)=log6(3a7)=log636=2. 二 由等差数列构造新数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 问题3 提示　设新数列为，公差为d'，则有b1=a1，b6=a2，所以b6-b1=a2-a1=d，故有5d'=d，所以d'=d. 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数) 知识梳理 21 在无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 例 2 ∵a1=3，d=-5， ∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1=a3=-7，b2=a7=-27. 22 (2)求数列{bn}的通项公式； 设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn=am， 则m=3+4(n-1)=4n-1， ∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n， 即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n. 23 (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 3+4×(503-1)=2 011， ∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2011项. 24 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 延伸探究 √ 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an=12n-10， 所以12n-10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16. 反 思 感 悟 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： (1)定义：an-an-1(n≥2)是否为常数； (2)其通项公式是否为关于n的一次函数. 已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn=　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　.  跟踪训练 2 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11，故cn=11+12(n-1)=12n-1. 又a100=302，b100=399，所以11≤12n-1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故{cn}的项数为25. 12n-1 25 28 三 灵活设项求解等差数列 已知四个数成等差数列，它们的和为32，它们的平方和为276，求这四个数. 例 3 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d. 则 解得 ∴这四个数为5，7，9，11或11，9，7，5. 反 思 感 悟 常见设项技巧 (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，这样可减少计算量. 已知递增的等差数列{an}的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 3 方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d， 则 即 解得 因为数列{an}为递增数列，所以 从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1. 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a-d，a，a+d， 由题意得 即 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an=4n-1. 四 等差数列的应用 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20=40，求d； 例 4 依题意得，a10=10，a20=10+10d=40，所以d=3. a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0)， 故a30=10， 当d∈(-∞，0)∪(0，+∞)时，a30的取值范围为. (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 反 思 感 悟 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 已知数列{an}是等差数列，a4=15，a7=27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为 A.4　　　B.　　　C.-4　　　D.- 跟踪训练 4 √ 由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)， 因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率， 所以所求直线的斜率k==4. 1.知识清单： (1)等差数列的性质. (2)由等差数列构造新数列. (3)灵活设项解等差数列. (4)等差数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或解法烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，下列说法正确的是 A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 √ 因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d， 所以数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…是公差为2d的等差数列. 2.已知等差数列{am}满足am-1+am+1--1=0，且m>1，则a1+a2m-1=　　.  1 2 3 4 2 ∵am-1+am+1=2am， ∴2am--1=0， 即(am-1)2=0，∴am=1， ∴a1+a2m-1=2am=2. 3.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为_____ 　　　　　　　　.  设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. 1 2 3 4 -2， 2，6或6，2，-2 1 2 3 4 4.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d=　　　，m+n的值为　　　.  1 2 3 4 设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0，1-4n>0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2. 由题意知x1=， ∴x2=，数列的公差d==， ∴数列的中间两项分别为+=+=. 1 2 3 4 ∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=. ∴m+n=+=. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 A.0　　　B.37　　　C.100　　　D.-37 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2， 所以数列{an+bn}仍然是等差数列. 又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 2.在递增的等差数列{an}中，a3+a6=-6，a4a5=8，公差d等于 A.4　　　B.2　　　C.-2　　　D.2或-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为在递增的等差数列{an}中，a3+a6=a4+a5=-6，a4a5=8， 所以a4=-4，a5=-2， 则公差d=a5-a4=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有 A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 √ 由等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51， 由于a1+a2+a3+…+a101=0，所以a51=0， 故a3+a99=2a51=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是 A.470 B.472 C.474 D.476 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图中“正方形筛子”给出的信息，可得第1列是首项为4，公差为3的等差数列，第i行是公差为2i+1的等差数列，则第7行的第1个数是4+6×3=22，即第7行是首项为22，公差为15的等差数列，所以第7行第31列的数是22+30×15=472. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 A.冬至的日影子长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12， 则数列{an}(n∈N*，n≤12)是等差数列， 因此，a1+a4+a7=37.5，而a1+a7=2a4，解得a4=12.5，又a12=4.5， 设数列{an}的公差为d，于是得 A正确； a10-a9=-1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； a8=a1+(8-1)d=8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确. 6.在1和19之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当+取最小值时，n的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列的公差为d，则a=1+d，b=19-d，从而a+b=20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以(a+b)=1+16++≥17+2=25， 即+≥==， 即b=4a时取“=”，又a=1+d，b=19-d，解得d=3， 所以19=1+(n+1)×3，所以n=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}满足a1=1，若点在直线x-y+1=0上，则an=　　　　　　.  由题设可得-+1=0， 即-=1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为=n，所以an=n2(n∈N*). n2(n∈N*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为　　　　.  1或2 ∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c， ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0. ∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. 9.在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设公差为d，则d===-1， 从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 方法二　设等差数列的通项公式为an=an+b(a，b为常数)， 则 得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a(m+n)+b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列-5，-，-2，-，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； 原数列的公差d=--(-5)=，所以新数列的公差d'=d=， 故新数列的通项公式为an=-5+(n-1)=n-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由. 令-=28，得n=45，所以28是新数列中的项，是第45项. 11.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是 A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p，q为常数) D.{2an+n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 数列-1，1，3是等差数列， 取绝对值后，1，1，3不是等差数列，A不成立； 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知， {an+1-an}为常数列，故是等差数列，B成立； 若{an}的公差为d，则(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd为常数，故{pan+q}是等差数列，C成立； (2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1为常数，故{2an+n}是等差数列，D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+ a2 023等于 A.10　　　B.15　　　C.20　　　D.40 √ ∵a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 022=10， 由等差数列的性质得2a1 012=10，即a1 012=5， ∴a1+a1 012+a2 023=3a1 012=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于 A.190　　　B.211　　　C.232　　　D.253 √ 由题意可得an能被3除余1，且被7除余1， 则an-1是21的倍数，即an-1=21，即an=21n-20， ∴a10=21×10-20=190. 14.等差数列{an}，满足对任意n∈N*都有=，则+ =　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6，a7+a5=2a6， 所以+====1. 15.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     142 记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x， 所以2x+y=113. ① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x， 则a23=3×103-4x，       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以2×74-3y=3×103-4x， 即4x-3y=161， ② 解①②，得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格应填142.       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.有一批小家电原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电，则去哪一家商场购买花费较少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设某单位需购买小家电n台. 在甲商场购买时，所买小家电的售价构成等差数列{an}，an=780+(n-1) ×(-20)=-20n+800， 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800-20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600(元). 比较在甲、乙两家家电商场的费用(800-20n)n-600n=20n(10-n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n<10时，(800-20n)n>600n，到乙商场购买花费较少； 当n=10时，(800-20n)n=600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n，到甲商场购买花费较少； 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买小家电台数少于10台时，到乙商场购买花费较少； 当购买小家电10台时，到两家商场购买花费相同； 当购买小家电台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 第四章 <<< $$