三角函数、解三角形之函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（讲义+课件）-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——三角函数、解三角形之函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 【知识梳理】 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ φ [常用结论] 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－)的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3.(必修一P241T5改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 方法总结　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 训练1 (1)(2024·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sin的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A.g(x)＝2sin B.g(x)＝2sin C.g(x)＝2sin D.g(x)＝2sin (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 (1)(2024·新乡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f＝(　　) A.0 B.2 C.1－ D.－1 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 方法总结　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则 A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 训练2 (1)(多选)(2024·重庆调研)已知f(x)＝2cos(2ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.ω＝4 B.φ＝－ C.函数f(x)在区间上单调递减 D.若f＝，且α∈，则 sin α－cos α＝ (2)(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的解析式为________. 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值. 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________. 方法总结　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 训练3 (多选)(2024·蚌埠质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 习题演练 1.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 2.为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　) A.每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B.每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的 3.(2024·安徽A10联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f(x)＝(　　) A.4sin B.4sin C.4sin D.4sin 4.若f(x)＝sin＋1，则函数y＝|f(x)|－1的零点为(　　) A.kπ－(k∈Z) B.－(k∈Z) C.kπ－(k∈Z) D.－(k∈Z) 5.(2024·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 6.(2024·岳阳质量监测)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后得图象的解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x 7.(2024·曲靖质量监测)已知奇函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)的图象(　　) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝－对称 D.关于直线x＝对称 8.(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________. 9.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为________. 10.已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________. 11.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心. 12.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2. (1)求函数f(x)的最大值； (2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值. 13.(多选)(2024·烟台模拟)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，则(　　) A.f(x)＝cos B.是f(x)图象的一个对称中心 C.当x＝－时，f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间； (3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——三角函数、解三角形之　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 知识梳理 3 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 4 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ωx＋φ 5 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × √ √ B 4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解 析式为 _______________________. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 解　因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； 列表如下： 描点、连线得图象： (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 方法总结 D C 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 C 方法总结 BCD 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 [－1，1)∪{2} 方法总结 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. ACD 习题演练 C C D D C D B g(x)＝2cos 2x (－2，－1) 如图： ∵函数f(x)的最小值为－2， ∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1， ∴函数f(x)的最大值为2. BD 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x _____ －＋ _____ － ______ ωx＋φ 0 ____ π _____ 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 － |φ| y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝___ f＝＝ ______ φ 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等. 2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－)的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3.(必修一P241T5改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数 y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________. 3sin 解析　g(x)＝f＝3sin＝3sin. 故×6＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又|φ|＜π，得φ＝－， 所以f(x)＝2sin. f(x)＝2sin 解析　由图可得A＝2， 又T＝2×[6－(－2)]＝16，故ω＝， 因为－<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin. 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z， 解　因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 解　将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象. 解　因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos， 将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象， 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)=2sin=2sin的图象. 训练1 (1)(2024·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sin的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A.g(x)＝2sin B.g(x)＝2sin C.g(x)＝2sin D.g(x)＝2sin 解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后， 得函数y＝2sin＝2sin的图象， 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z). 因为ω＞0，所以ωmin＝. (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)， 则g(x)＝sin＝sin. 所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1. 因为T＝＝－＝π，解得ω＝2， 例2 (1)(2024·新乡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f＝(　　) A.0 B.2 C.1－ D.－1 解析　由题图可知A＝＝2，b＝＝1， 将代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1得0＝2sin＋1， 结合|φ|<及函数图象，解得φ＝， 所以f(x)＝2sin＋1， 故f＝2sin＋1＝1－. 所以ω＋φ＝2π.① 由题知|AB|＝xB－xA＝， 两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4. 代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin＝－sin＝－. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. － 解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点， 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则 A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 训练2 (1)(多选)(2024·重庆调研)已知f(x)＝2cos(2ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　　) A.ω＝4 B.φ＝－ C.函数f(x)在区间上单调递减 D.若f＝，且α∈，则sin α－cos α＝ 解析　由题图可知＝－＝，则T＝， 又ω>0，所以＝，则ω＝2，A错误； 若f＝，则2cos＝，即sin 2α＝， 所以(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝1－＝， 因为α∈，所以sin α>cos α，即sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝，D正确. f(x)＝2cos(4x＋φ)，因为点在函数f(x)的图象上， 所以由五点作图法可知4×＋φ＝，所以φ＝－，B正确； f(x)＝2cos，若x∈，则4x－∈， 所以函数f(x)＝2cos在区间上单调递减，C正确； 因为图象过点，所以cos＝0， 所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z. 因为1<|ω|<2，故k＝0，得ω＝， 所以f(x)＝cos. (2)(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的解析式为 _________________. f(x)＝cos 解析　由图象知π<T<2π，即π<<2π，所以1<|ω|<2. 所以f(x)＝2sin＋1， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； 解　由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin＋1， 因为周期T＝＝π，所以ω＝1， 即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值. 解　因为g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1， 当x∈时，－≤2x－≤， 所以当2x－＝， 所以其函数图象如图所示. 因为y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解， 结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2. 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是_____________. 解析　因为x∈，所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]且当x＝时，f＝1， 训练3 (多选)(2024·蚌埠质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将 y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 解得φ＝π＋kπ，k∈Z， 又－<φ<，所以当k＝－2时，φ＝－， 所以g(x)＝cos＝－sin 2x，f(x)＝cos. 解析　根据题意可得g(x)＝cos， 因为g(x)的最小正周期为π，所以＝π， 因为ω>0，所以ω＝4，即g(x)＝cos， 又g(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z， 易知不是，k∈Z的子集，故B错误； 对于C，g(x)≥，即－sin 2x≥，得sin 2x≤－， 则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z， 对于A，当x＝时，f＝cos＝0， 所以点是f(x)图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得＋≤x≤＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确； 对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f＝cos与y2＝g(x)＝－sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示， 通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共有2个交点，故D正确. 1.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. 2.为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　) A.每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B.每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的 解析　y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，故A，B的错误； y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误. 又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝4sin. 3.(2024·安徽A10联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0， |φ|＜)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f(x)＝(　　) A.4sin B.4sin C.4sin D.4sin 解析　由题意，得＝－0，则T＝，∴ω＝＝3，∴f(x)＝4sin(3x＋φ). ∵f(0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝， 解得sin＝0或sin＝－2(舍去)，则2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝－，k∈Z. 4.若f(x)＝sin＋1，则函数y＝|f(x)|－1的零点为(　　) A.kπ－(k∈Z) B.－(k∈Z) C.kπ－(k∈Z) D.－(k∈Z) 解析　因为f(x)＝sin＋1， 所以y＝|f(x)|－1＝－1＝0， ∴f(x)＝Asin＝Acos＝Acos＝Acos， ∴只需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝Acos ωx的图象.故选C. 5.(2024·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析　f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为， 则T＝2×＝＝，∴ω＝3， f(2x)＝2sin的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象. 6.(2024·岳阳质量监测)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数 y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后得图象的解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x 解析　依题意，f＝sin ＋acos ＝＋a＝0， 解得a＝－，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin. 已知f(x)为奇函数，根据0<φ<π可知φ＝， 7.(2024·曲靖质量监测)已知奇函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)的图象(　　) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝－对称 D.关于直线x＝对称 解析　相邻两个对称中心的距离为2π， 则＝2π，T＝，则ω＝＝. 解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故C，D错误. 则f(x)＝2sin x，g(x)＝2sin＝2sin. 令x－＝kπ(k∈Z)， 解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故A错误，B正确； 令x－＝＋kπ(k∈Z)， 则g(x)＝f＋＝2sin－＋＝2cos 2x. 8.(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为______________. 解析　由题意，f(x)＝＝2sin xcos x－2cos2x ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＝2sin－， ∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈， 故函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为. 9.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则 函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为_____________. 解析　将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin的图象，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝sin＝sin. 设2x＋＝t，则t∈， 所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根. 所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点， 10.已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_____________. 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为 m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈. 由图象观察知，的取值范围是， 故m的取值范围是(－2，－1). 11.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象； 解　f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 列表如下： x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图. (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心. 解　将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象. 由－＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z， 故g(x)图象的对称中心为，k∈Z. 则f(x)＝2sin， 12.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2. (1)求函数f(x)的最大值； 解　f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m ＝2sin＋1＋m， ∴函数g(x)的周期T＝≥， ∴ω≤4，即ω的最大值为4. (2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值. 解　由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度， 可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象. ∵y＝g(x)在上单调递增， 13.(多选)(2024·烟台模拟)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，则(　　) A.f(x)＝cos B.是f(x)图象的一个对称中心 C.当x＝－时，f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 解析　对A，将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)＝ sin 2＝sin＝－cos，A错误； 对B，f＝sin＝0，则是f(x)图象的一个对称中心，B正确； 对C，f＝sin＝－1， 故当x＝－时，f(x)取得最小值，C错误； 对D，由x∈，可得2x－∈， 则函数f(x)＝sin在区间上单调递增，D正确. 即＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 令k＝0可得φ＝，所以f(x)＝2sin. 14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2. (1)求函数f(x)的解析式； 解　由题知函数f(x)的最小正周期为2×＝，解得ω＝4， 所以f(x)＝Asin(4x＋φ)， 又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，所以A＝2，且f＝－2， 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间； 解　函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin， 再向左平移个单位长度可得g(x)＝2sin＝2cos 2x， 令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z， 所以由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2， 解得－4＜m≤－2或m＝0. 所以m的取值范围为(－4，－2]∪{0}. (3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 解　函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象如图所示， 因为方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根， $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——三角函数、解三角形之函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 【知识梳理】 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ [常用结论] 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等. 2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－)的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案　B 3.(必修一P241T5改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 答案　3sin 解析　g(x)＝f ＝3sin＝3sin. 4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________. 答案　f(x)＝2sin 解析　由图可得A＝2， 又T＝2×[6－(－2)]＝16，故ω＝， 故×6＋φ＝2kπ(k∈Z)， 得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又|φ|＜π，得φ＝－， 所以f(x)＝2sin. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π， 所以ω＝2. 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2， 所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)因为x∈[0，π]， 所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 解　因为f(x)＝2sin ＝2cos＝2cos， 将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象， 即为f(x)＝2sin的图象. 方法总结　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 训练1 (1)(2024·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sin的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A.g(x)＝2sin B.g(x)＝2sin C.g(x)＝2sin D.g(x)＝2sin 答案　D 解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后， 得函数y＝2sin＝2sin的图象， 再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 得g(x)＝2sin＝2sin的图象. (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)， 则g(x)＝sin ＝sin. 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)， 得ω＝2k＋(k∈Z). 因为ω＞0，所以ωmin＝. 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 (1)(2024·新乡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f＝(　　) A.0 B.2 C.1－ D.－1 答案　C 解析　由题图可知A＝＝2， b＝＝1， 所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1. 因为T＝＝－＝π，解得ω＝2， 将代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1得 0＝2sin＋1， 结合|φ|<及函数图象，解得φ＝， 所以f(x)＝2sin＋1， 故f＝2sin＋1＝1－. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案　－ 解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知， 点为“五点(画图)法”中的第五点， 所以ω＋φ＝2π.① 由题知|AB|＝xB－xA＝， 两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝， 解得ω＝4. 代入①，得φ＝－， 所以f(π)＝sin＝－sin＝－. 方法总结　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则 A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 训练2 (1)(多选)(2024·重庆调研)已知f(x)＝2cos(2ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.ω＝4 B.φ＝－ C.函数f(x)在区间上单调递减 D.若f＝，且α∈，则 sin α－cos α＝ 答案　BCD 解析　由题图可知＝－＝， 则T＝， 又ω>0，所以＝，则ω＝2，A错误； f(x)＝2cos(4x＋φ)， 因为点在函数f(x)的图象上， 所以由五点作图法可知4×＋φ＝， 所以φ＝－，B正确； f(x)＝2cos， 若x∈，则4x－∈， 所以函数f(x)＝2cos在区间上单调递减，C正确； 若f＝，则2cos＝， 即sin 2α＝， 所以(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝1－＝， 因为α∈， 所以sin α>cos α，即sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝，D正确. (2)(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的解析式为________. 答案　f(x)＝cos 解析　由图象知π<T<2π，即π<<2π， 所以1<|ω|<2. 因为图象过点， 所以cos＝0， 所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z， 所以ω＝－k，k∈Z. 因为1<|ω|<2，故k＝0，得ω＝， 所以f(x)＝cos. 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值. 解　(1)由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx ＝2sin＋1， 因为周期T＝＝π，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin＋1， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. (2)因为g(x)＝2sin＋1 ＝2sin＋1， 当x∈时，－≤2x－≤， 所以当2x－＝， 即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3. 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________. 答案　[－1，1)∪{2} 解析　因为x∈， 所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]且当x＝时，f＝1， 所以其函数图象如图所示. 因为y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2. 方法总结　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 训练3 (多选)(2024·蚌埠质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 答案　ACD 解析　根据题意可得 g(x)＝cos， 因为g(x)的最小正周期为π，所以＝π， 因为ω>0，所以ω＝4， 即g(x)＝cos， 又g(x)为奇函数， 所以φ－＝＋kπ，k∈Z， 解得φ＝π＋kπ，k∈Z， 又－<φ<， 所以当k＝－2时，φ＝－， 所以g(x)＝cos＝－sin 2x， f(x)＝cos. 对于A，当x＝时，f＝cos＝0， 所以点是f(x)图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得＋≤x≤＋，k∈Z， 易知不是，k∈Z的子集，故B错误； 对于C，g(x)≥，即－sin 2x≥， 得sin 2x≤－， 则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确； 对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f＝cos与y2＝g(x)＝－sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示， 通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共有2个交点，故D正确. 习题演练 1.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. 2.为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　) A.每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B.每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D.先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的 答案　C 解析　y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，故A，B的错误； y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误. 3.(2024·安徽A10联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f(x)＝(　　) A.4sin B.4sin C.4sin D.4sin 答案　D 解析　由题意，得＝－0，则T＝， ∴ω＝＝3，∴f(x)＝4sin(3x＋φ). ∵f(0)＝4sin φ＝2， ∴sin φ＝， 又|φ|＜，∴φ＝， ∴f(x)＝4sin. 4.若f(x)＝sin＋1，则函数y＝|f(x)|－1的零点为(　　) A.kπ－(k∈Z) B.－(k∈Z) C.kπ－(k∈Z) D.－(k∈Z) 答案　D 解析　因为f(x)＝sin＋1， 所以y＝|f(x)|－1＝－1＝0， 解得sin＝0或sin＝－2(舍去)，则2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝－，k∈Z. 5.(2024·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　C 解析　f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为， 则T＝2×＝＝，∴ω＝3， ∴f(x)＝Asin＝Acos ＝Acos＝Acos， ∴只需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝Acos ωx的图象.故选C. 6.(2024·岳阳质量监测)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后得图象的解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x 答案　D 解析　依题意， f＝sin ＋acos ＝＋a＝0， 解得a＝－， 所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin. f(2x)＝2sin的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象. 7.(2024·曲靖质量监测)已知奇函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)的图象(　　) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝－对称 D.关于直线x＝对称 答案　B 解析　相邻两个对称中心的距离为2π， 则＝2π，T＝，则ω＝＝. 已知f(x)为奇函数，根据0<φ<π可知φ＝， 则f(x)＝2sin x， g(x)＝2sin＝2sin. 令x－＝kπ(k∈Z)， 解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故A错误，B正确； 令x－＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故C，D错误. 8.(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________. 答案　g(x)＝2cos 2x 解析　由题意，f(x)＝ ＝2sin xcos x－2cos2x ＝sin 2x－(cos 2x＋1) ＝2sin－， 则g(x)＝f＋ ＝2sin－＋ ＝2cos 2x. 9.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为________. 答案　 解析　将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin的图象，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝sin＝sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴sin∈， 故函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为. 10.已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________. 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈. 设2x＋＝t，则t∈， 所以题目条件可转化为＝sin t， t∈有两个不同的实数根. 所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，的取值范围是， 故m的取值范围是(－2，－1). 11.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心. 解　(1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 列表如下： x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图. (2)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象. 由－＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z， 故g(x)图象的对称中心为，k∈Z. 12.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2. (1)求函数f(x)的最大值； (2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值. 解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m ＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m ＝2sin＋1＋m， ∵函数f(x)的最小值为－2， ∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1， 则f(x)＝2sin， ∴函数f(x)的最大值为2. (2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度， 可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象. ∵y＝g(x)在上单调递增， ∴函数g(x)的周期T＝≥， ∴ω≤4，即ω的最大值为4. 13.(多选)(2024·烟台模拟)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，则(　　) A.f(x)＝cos B.是f(x)图象的一个对称中心 C.当x＝－时，f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 答案　BD 解析　对A，将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin 2＝sin＝－cos，A错误； 对B，f＝sin＝0， 则是f(x)图象的一个对称中心，B正确； 对C，f＝sin＝－1， 故当x＝－时，f(x)取得最小值，C错误； 对D，由x∈，可得2x－∈，则函数f(x)＝sin在区间上单调递增，D正确. 14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间； (3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 解　(1)由题知函数f(x)的最小正周期为 2×＝，解得ω＝4， 所以f(x)＝Asin(4x＋φ)， 又函数f(x)在x＝处取到最小值－2， 所以A＝2，且f＝－2， 即＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 令k＝0可得φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin， 再向左平移个单位长度可得 g(x)＝2sin＝2cos 2x， 令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z， 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). (3)函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象如图所示， 因为方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根， 所以由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2， 解得－4＜m≤－2或m＝0. 所以m的取值范围为(－4，－2]∪{0}. 学科网（北京）股份有限公司 $$