2018高考数学（理）冲刺最后30天之大题冲关系列（四）立体几何的综合问题（课件+讲义+专项训练）（含2018年最新模拟题，全解析） (共4份打包)

立体几何的综合问题 命题动向：从近五年的高考试题来看，立体几何是历年高考的重点，约占整个试卷的13%，通常以一大一小的模式命题，以中、低档难度为主．三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间向量与空间角(特别是二面角)的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式加以考查．着重考查推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势．转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终． 题型1空间点、线、面的位置关系 例1　　[2017·北京高考]如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 解题视点　(1)根据线面垂直的判定定理即可证明；(2)由等腰三角形性质和(1)问结论证线面垂直，再由面面垂直判定定理即可证明；(3)关键是先由直线与平面平行的性质定理证线线平行，再由线面垂直的结论证三棱锥的高． 解　(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD. (2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝. 冲关策略 立体几何中证明线线垂直往往是通过线面垂直来实现的，即一条直线垂直于另一条直线所在的平面，根据直线和平面垂直的定义，从而得到这两条直线垂直．解决这类问题要运用转化策略，特别要注意面面垂直的性质定理“如果两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”，这是立体几何中“作一个平面的垂线”的主要依据． 变式训练1 [2015·江苏高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因为AC⊂平面ABC， 所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1， BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 题型2 平面图形的翻折问题 例2　　[2016·全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝. (1)证明：D′H⊥平面ABCD； (2)求二面角B－D′A－C的正弦值． 解题视点　(1)利用线面垂直的判定定理进行证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 解　(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC，得＝＝. 所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H， 所以D′H⊥平面ABCD. (2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz. 则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5，0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，＝(3，－4,0)，＝(6,0,0)，＝(3,1,3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量， 则即 所以可取m＝(4,3，－5)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量， 则即 所以可取n＝(0，－3,1)． 于是cos〈m，n〉＝＝＝－， 所以sin〈m，n〉＝. 因此二面角B－D′A－C的正弦值是. 冲关策略 解