2018高考数学（理）冲刺最后30天之大题冲关系列（三）数列的综合问题（课件+讲义+专项训练）（含2018年最新模拟题，全解析） (共4份打包)

数列的综合问题 命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解． 题型1 等差、等比数列的综合运算 例1　[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解题视点　(1)熟练应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；(2)在证明a，b，c成等差、等比数列时，可以利用等差中项：＝b或等比中项：ac＝b2来证明． 解　(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列. 冲关策略 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的. 变式训练1 已知数列{an}是等差数列，首项a1＝2，且a3是a2与a4＋1的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设{an}的公差为d，由题意可得 a＝a2·(a4＋1)， 即(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， ∴d＝2或d＝－1. 当d＝－1时，a3＝0，不符合条件． ∴d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n. (2)bn＝＝ ＝＝ ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn ＝ ＝ ＝－. 题型2 数列的通项与求和 例2　　[2018·临汾模拟]数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1)2. (1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； (2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 解题视点　(1)运用an＝得到{an}为等差数列，进而求解；(2)解题的关键是错位相减法的运算，对考生的运算求解能力要求较高． 解　(1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2， 解得a1＝1， 由4Sn＝(an＋1)2，得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2， 两式相减得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an>0，所以an＋1－an＝2， 则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得bn＝， Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋，② ①－②得 Tn＝＋2－ ＝＋2×－＝－， 所以Tn＝1－. 冲关策略 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等. 变式训练2 数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)∵Sn＝2an－a1， ∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1， ∴an＝2an－2an－1，化为an＝2an－1. 由a1，a2＋1，a3成等差数列得，2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2. ∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2. ∴ an＝2n. (2)∵an＋1＝2n＋1，∴Sn＝＝2n＋1－2， Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝ ＝. ∴数列{bn}的前n项和 Tn＝＝. 题型3 数列与其他知识的交汇 命题角度1　数列与函数的交汇 例3　[2018·河南开封模拟]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解题视点　(1)叠加法求数列的通项公式；(2)裂项相消法求数列的前n项和． 解　(1)f′(x)＝2ax＋b， 由题意知b＝2n,16n2a－4nb＝0， ∴a＝， 则f