2018高考数学（理）冲刺最后30天之大题冲关系列（二）三角函数的综合问题（课件+讲义+专项训练）（含2018年最新模拟题，全解析） (共4份打包)

三角函数的综合问题 命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质． 题型1 三角函数图象和性质的综合问题 例1　[2017·山东高考]设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0. (1)求ω； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值． 解题视点　(1)将函数f(x)化简为Asin(ωx＋φ)的形式后，通过解方程求得ω值； (2)y＝f(x)变换得到y＝g(x)，利用三角函数的图象和性质求最值． 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ＝sinωx－cosωx ＝ ＝sin. 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因为x∈，所以x－∈， 当x－＝－，即x＝－时， g(x)取得最小值－. 冲关策略 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质． 变式训练1 [2016·天津高考]已知函数f(x)＝4tanx·sincos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解　(1)f(x)的定义域为. f(x)＝4tanxcosxcos－ ＝4sinxcos－ ＝4sinx－ ＝2sinxcosx＋2sin2x－ ＝sin2x＋(1－cos2x)－ ＝sin2x－cos2x＝2sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，易知函数y＝2sinz的单调递增区间是 ，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 设A＝， B＝， 易知A∩B＝. 所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 题型2 解三角形与数列的综合问题 例2　[2018·衡中模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC. (1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 解题视点　(1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证；(2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题． 解　(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)． 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC， ∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC， 化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac， ∴a，b，c成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac＝4. 则cosB＝＝≥＝， 当且仅当a＝c时，等号成立． ∵0<B<π，∴sinB＝≤ ＝. ∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝. ∴△ABC的面积的最大值为. 冲关策略 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化． 变式训练2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2＋ccos2＝b. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若B＝，S＝4，求b. 解　(1)证明：由正弦定理， 得sinAcos2＋sinCcos2＝sinB， 即sinA·＋sinC·＝sinB， ∴sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB， 即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB. ∵sin(A＋C)＝sinB， ∴sinA＋sinC＝2sinB，即a＋c＝2b， ∴a，b，c成等差数列． (2)∵S＝acsinB＝ac＝4，∴ac＝16. 又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac， 由(1)得a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48， ∴b2＝16，即b＝4. 题型3 三角变换与解三角形的综合 例3