2018版数学《课堂讲义》北师大版 选修4-4 第二讲　参数方程（教师版 含课后作业） (共22份打包)

2.3　椭圆的参数方程 2.4　双曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程 (1)椭圆(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角. ＝1的参数方程为＋ (2)中心在C(x0，y0)的椭圆的参数方程是(φ为参数). 2.双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线π. ，φ≠(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠＝1的参数方程为－ 【思维导图】 【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程. 题型一　椭圆的参数方程 1.和圆的参数方程中的参数φ是椭圆上点M的离心角. 中的参数θ是半径OM的旋转角不同，椭圆参数方程 2.椭圆(φ为参数). ＝1 (a>b>0)的参数方程为＋ 【例1】 已知A、B分别是椭圆＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程. ＋ 解　由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B(0，3). 由重心坐标公式可知 由此消去θ得到＋(y－1)2＝1即为所求. 【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便. 1.设F1、F2分别为椭圆C：＝1 (a>b>0)的左、右焦点. ＋ (1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； (2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程. 解　(1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2. 又点A在椭圆上， 因此＝1，得b2＝3， ＋ 于是c2＝a2－b2＝1， 所以椭圆C的方程为＝1， ＋ 焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0). (2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)， 线段F1P的中点坐标为(x，y)， 则x＝， ，y＝ 所以x＋＝sin θ. ＝cos θ， 消去θ，得＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程. ＋ 题型二　双曲线的参数方程 与椭圆类似，双曲线的参数方程 (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M的离心角. 【例2】 直线AB过双曲线＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点.求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值. － 证明　如图所示， 设P. ，A ∵AB过原点O， ∴A，B的坐标关于原点对称， 于是有B， 从而：kPA·kPB＝· ＝为定值. ＝ 【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果. 2.如图所示，设M为双曲线＝1(a，b＞0)上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？ － 解　双曲线的渐近线方程为y＝±x. 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为 ，则直线MA的方程为 y－btan φ＝－.① 将y＝x代入①，解得点A的横坐标为 xA＝. 同理可得，点B的横坐标为xB＝. 设∠AOx＝a，则tan α＝. 所以，▱MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|sin 2α ＝·sin 2α· ＝·sin 2α ＝. ＝··tan α＝ 由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关. 题型三　参数方程的应用 若曲线的参数方程，因此t的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数. ＝ (t为参数)，由于 【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标. 分析　这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来. 解　(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0).记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 (g＝9.8 m/s2)，即 这是炸弹飞行曲线的参数方程. (2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0， 即588－4.9t2＝0，解得t0＝2. 由此得x0＝150×2≈1 643 (m). ＝300 即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标. 【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，