2018版数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 选修2-2 第一章　导数及其应用（1.5）（教师版 含课后作业） (共12份打包)

章末检测(一) (时间：120分钟　满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线的斜率为________． 答案　2 解析　∵y′＝cos x＋ex， ∴k＝y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2. 2．函数f(x)＝xex－ex＋1的单调增区间是________． 答案　(e－1，＋∞) 解析　f′(x)＝ex＋xex－ex＋1＝(x－e＋1)ex，令f′(x)＞0，得x＞e－1. 3．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调增区间为________． 答案　(2，＋∞) 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－2－＝＝， 令f′(x)>0，可得x>2. ∴f(x)的单调增区间为(2，＋∞)． 4．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________. 答案　－1 解析　求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1. 5．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上是凸函数的个数为________． ①f(x)＝－x3＋2x－1； ②f(x)＝ln x－2x； ③f(x)＝sin x＋cos x; ④f(x)＝xex. 答案　3 解析　①对于f(x)＝－x3＋2x－1， f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x， 当x∈(0，)时，f″(x)<0，故为凸函数； ②对于f(x)＝ln x－2x，f′(x)＝－2， f″(x)＝－， 当x∈(0，)时，f″(x)<0，故为凸函数； ③对于f(x)＝sin x＋cos x， f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x， 当x∈(0，)时，f″(x)<0，故为凸函数； ④对于f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex， f″(x)＝(x＋2)ex， 当x∈(0，)时，f″(x)>0，故不是凸函数． 6．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　[2，＋∞) 解析　函数的导数为f′(x)＝1－. 若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减， 则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立， 即1－≤0，即≥1，即a≥x， ∵0<x≤2，∴a≥2. 7．若函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，－2) 解析　∵f(x)＝x2＋aln x，∴f′(x)＝ (x>0)． 设g(x)＝2x2＋a，∵函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，∴g(1)＝2＋a<0，∴a<－2. 8．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为________． 答案　－2 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝3ax2＋，f′(1)＝3a＋. 令F(a)＝3a＋(a<0)， 则F′(a)＝3－＝＝， ∴F(a)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减， ∴F(a)max＝F(－2)．∴a＝－2. 9．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则实数a的值为________． 答案　－1 解析　f′(x)＝， 当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 若≥1，即a≥1， 则当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f()＝＝， 解得＝<1，不合题意， ∴<1， 且当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f(1)＝＝， 解得a＝－1，满足<1. 10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(1)存在惟一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2) 解析　若a＝0，令f(x)＝0，解得x＝±，不合题意． 若a>0，则f(－1)＝－a－2<0，f(0)＝1>0， 所以f(x)存在负的零点，不合题意． 若a<0，则f′(x)＝3ax(x－)， 可得f()＝1－为极小值， 则1－>0，解得a>2或a<－2，故a<－2. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2)． 11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，满足xf′(x)＋2f(x)＝，且f(1)＝2，则函数f(x)的最大值为________． 答案　 解析　由xf′(x)＋2f(x)＝， 变形为[x2f(x)]′＝(ln x)′， ∴f(x)＝，∵f(1)＝2，∴c＝2. ∴f(x)＝ (