2018版数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 选修2-2 第一章　导数及其应用（1.1-1.4）（教师版 含课后作业） (共20份打包)

1.1.1　平均变化率 学习目标　1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题． 知识点　平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． 思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 答案　自变量x的改变量为x2－x1，函数值y的改变量为y2－y1. 思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案　对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度． 思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率表示什么？ 答案　观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率． 梳理　(1)一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： ①函数在区间[x1，x2]上有意义． ②在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0. ③实质：函数值的增量与自变量的增量之比． ④作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 类型一　函数在某区间上的平均变化率 例1　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 ＝＝12.3. (2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝ ＝＝3. 反思与感悟　求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1. (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1,0]上的平均变化率为________． (2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案　(1)1　(2)　 解析　(1)∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6， f(0)＝－5， ∴＝＝1. (2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 ＝＝. 由函数f(x)的图象知，f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 ＝＝. 类型二　实际问题中的平均变化率 例2　物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度． 解　物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为 ＝ ＝＝ ＝(m/s)． 即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s. 反思与感悟　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． 跟踪训练2　(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________． 答案　0.4π 解析　∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时， 圆的面积S的平均变化率为 ＝＝0.4π. (2)在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？ 解　赛车在[20,20.1]上的平均速度为＝＝＝210.5(m/s)． 类型三　函数平均变化率的应用 例3　甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号) ①v甲>v乙；②v甲<v乙；③v甲＝v乙；④大小关系不确定． 答案　② 解析　由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)， 则<， 所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大． 反思与感悟　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢． 跟踪训练3　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是________． 答案　3>2>1 解析　1＝＝kOA， 2＝＝kAB， 3＝＝kBC， 由图象