江苏省徐州市铜山区2017-2018学年下学期高二数学（文）期中试题

2017—2018学年度第二学期期中考试 高二数学试题（文科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1.已知集合 ，，则集合 中元素个数是 ▲ ． 2.命题“ ”的否定是 ▲ ． 3.已知复数 （ 为虚数单位），则 = ▲ ． 4.命题“若 ，则 ”的逆否命题是 ▲ 命题．（从真、假中选一个）. 5.已知 ，则这样的集合 有 ▲ 个． 6.已知 为纯虚数，则实数 = ▲ ． 7．若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是 ▲ ． 8.已知 ,则“ ”是“直线 平行”的 ▲ 条件． （从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个）. 9.设 是不相等的正数， ，则 的大小关系是 ▲ ．(用“ ”连接） 10.已知条件 ：向量 的数量积 ；条件 ： ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ▲ ． 11.已知，根据这些结果,归纳出一个一般性的结论是 ▲ ． 12.已知 ，把数列 的各项排成如下的三角形： ……… 记 表示第 行的第 个数，则 ▲ ． 13.设集合 ， ，当 中的元素个数是 时，则实数 的取值范围是 ▲ ． 14.函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知 为虚数单位 (1)计算： ; (2)已知 ，求复数 . 16．(本小题满分14分) 已知函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ， （1）求 ； （2）已知 ，若 ,求实数 的取值范围. 17．（本小题满分14分） 已知 ，已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：“函数 在 上为单调增函数．若“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围． 18．（本小题满分16分） （1）用分析法证明: ； （2）求证： ， ， 不可能是同一等差数列中的三项. 19.(本小题满分16分) 先解答（1），再通过类比解答（2）： （1） 已知正三角形的边长为 ,求它的内切圆的半径 ； （2） 已知正四面体的棱长为 ,求它的内切球的半径 . 20．（本小题满分16分） 已知数列 满足 ⑴若数列 满足 ，证明：数列 是等比数列；] ⑵若数列 满足 ， ①证明：数列 是等差数列； ②若数列 满足 且 ，证明：数列 中的每一项均不小于 . 高二数学（文科）答案 1. 2. 3. 4.真 5. 6. 7． 8.充要 9. 10. 11. （ ） 12. 13. 14. 15.解：（1）原式= …………………………………………………6分 （2）因为 所以 ………………………………8分 改为14分 16.解：(1)由 得 ，则 …………………2分 由 得 ，则 ……………………………………4分 故 ………………………………………………………………………6分 （2）由 得 …………………………………………………………………7分 当 时， …………………………………………………9分 当 时， ，则 ，故 …………………11分 当 时， ，则 ，故 ………………………13分 综上，实数 的取值范围是 .……………………………………………14分 17.解：若 为真命题，则 解得 ………………………………3分 若 为真命题，则 即 …………………………………………………6分 若“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，则 一真一假.………………8分 当 时，由 得 …………………………………………10分 当 时，由 得 …………………………………………12分 综上，实数 的取值范围是 或 ……………………………………14分 18解：（1)要证 只要证 ………………………………………………2分 只要证 只要证 ………………………………………………4分 只要证 只要证 上式显然成立 故 ……………………………………………………6分 （2）假设 ， ， 是某一等差数列中的三项. 则存在整数 ，实数 满足 ……………………………………10分