2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1课件：本讲整合 (3份打包)

本 讲 整 合 答案:①判定　②性质　③射影 专题一:平行线分线段成比例定理及其应用 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 【例1】 如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则 =　　　　　.  解析:延长CK,BA,设它们交于点H, 答案:1 反思感悟平行线分线段成比例定理的应用技巧: (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用. (2)若图形中没有平行线,则要添加辅助线,构造相关图形,创造可以形成比例式的条件,达到证明的目的. 变式训练1如图,已知AE∥BF∥CG∥DH,AB= BC=CD,AE=12, DH=16,AH交BF于M,求BM和CG的长. 专题二:相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 2.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. (2)两角对应相等的两个三角形相似. (3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边对应成比例的两个三角形相似. 3.直角三角形相似的判定 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方. 【例2】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,点E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB=9,求BM的长. 分析:对于(1),可通过证明CB∥DE并结合相似三角形的判定定理证明;(2)可由(1)结合相似三角形的性质求解. (1)证明:∵点E是AB的中点,∴AB=2BE. 又AB=2CD,∴CD=EB. ∵AB∥CD,∴四边形CBED是平行四边形. ∴CB∥DE,∴∠DEM=∠BFM,∠EDM=∠FBM, ∴△EDM∽△FBM. 反思感悟1.判定两个三角形相似,要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边. 2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,可间接证明线段相等等. 变式训练2如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.求证: (1)△ABC≌△DCB; (2)DE·DC=AE·BD. 证明:(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC. 又BC=CB,∴△ABC≌△DCB. (2)由(1)知,△ABC≌△DCB, ∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB. ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC. 又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC. ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB. ∴△ADE∽△CBD,∴DE∶BD=AE∶CD. ∴DE·DC=AE·BD. 专题三:直角三角形的射影定理及其应用 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 【例3】 如图,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC上,点E,F在斜边BC上.求证:EF2=BE·FC. 证明:如图,过点A作AH⊥BC于点H, 则DE∥AH∥GF. ∵AH2=BH·CH, ∴DE·GF=BE·FC. 又DE=GF=EF,∴EF2=BE·FC. 反思感悟在使用直角三角形的射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.证题时,要注意作垂线构造直角三角形,这是处理直角三角形问题时常用的方法. 变式训练3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,