河南省河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第一次联考数学（文）试卷（扫描版）

洛阳市２０１７———２０１８学年下学期尖子生第一次联考 高三数学试题（文科）参考答案 一、选择题： 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ 二、填空题： １３．犪狀 ＝３ 狀－１ 　　　１４．－１　　　１５．狓＋狔－２＝０　　　１６．２ 三、解答题： １７．解：方法１：∵　犃犇 ＝２，犃犆＝ 槡４３且犛△犇犃犆 ＝ １ ２ ×犃犇×犃犆×ｓｉｎ∠犇犃犆 ∴　ｓｉｎ∠犇犃犆＝ ２犛△犇犃犆 犃犇×犃犆 ＝ 槡４３ 槡８３ ＝ １ ２ ……２分 ∵　犅＝ π ３ ， ∴　∠犇犃犆＝ π ６ ……４分 犆犇２ ＝犃犇 ２ ＋犃犆 ２ －２犃犆×犃犇×ｃｏｓ∠犇犃犆＝４＋４８－２×２× 槡４３×槡 ３ ２ ＝２８ ∴　犆犇 ＝ 槡２７ ……６分 （２）∵　犃犅 ＝犃犇，犅＝ π ３ ，易得 △犃犅犇 为正三角形 ∴　∠犃犇犆＝ ２π ３ 方法１：设 ∠犇犃犆＝狓，则 ∠犃犆犇 ＝ π ３ －狓，０＜狓＜ π ３ ∵　 犃犆 ｓｉｎ ２π ３ ＝ 犆犇 ｓｉｎ狓 ＝ 犃犇 ｓｉｎ（π ３ －狓） ，且犃犆＝ 槡４３ ∴　犆犇 ＝８ｓｉｎ狓，犃犇 ＝８Ｓｓｉｎ（ π ３ －狓） ……８分 ∴　△犇犃犆的周长为犾＝犃犆＋犃犇＋犆犇 ＝ 槡４３＋８ｓｉｎ（ π ３ －狓）＋８ｓｉｎ狓 ＝ 槡４３＋８ｓｉｎ（狓＋ π ３ ），狓∈ （０， π ３ ） ……１０分 高三数学（文科）答案　第１页　（共４页）　（２０１８．３） 当狓＝ π ６ ∈ （０， π ３ ）时，ｓｉｎ（狓＋ π ３ ）有最大值１，周长犾有最大值８＋ 槡４３ ……１２分 方法２：设犃犇 ＝狓，犆犇 ＝狔，狓＞０，狔＞０ 有余弦定理可得犃犆２ ＝犃犇 ２ ＋犆犇 ２ －２犃犇×犆犇×ｃｏｓ ２π ３ 即４８＝狓 ２ ＋狔 ２ ＋狓狔 ∵　４８＝狓 ２ ＋狔 ２ ＋狓狔＝ （狓＋狔） ２ －狓狔≥ （狓＋狔） ２ － （狓＋狔） ２ ４ ＝ ３ ４ （狓＋狔） ２ ∴　狓＋狔≤８（当且仅当狓＝狔时取等号） ∴　△犇犃犆的周长为犾＝犃犆＋犃犇＋犆犇 ＝ 槡４３＋狓＋狔≤８＋ 槡４３ 即周长犾的最大值为８＋ 槡４３（当且仅当犃犇 ＝犆犇 ＝４时取到该最大值） １８．解：（１）：由直方图知，前五组频率为（０．００８＋０．０１６＋０．０４＋０．０４＋０．０６）×５＝ ０．８２， 后三组频率为１－０．８２＝０．１８，人数 为０．１８×５０＝９（人）， 由直方图得第八组频率为：０．００８×５ ＝０．０４，人数为０．０４×５０＝２（人）， ……２分 设第六组人数为犿，则第七组人数为犿 －１，又犿＋犿－１＋２＝９，所以犿＝４， 即第六组人数为４人，第七组人数为３ 人，频率分别为０．０８，０．０６， ……４分 频率除以组距分别等于０．０１６，０．０１２， 见图， ……６分 （２）由（１）知身高在［１８０，１８５）内的人数为４人，设为犪，犫，犮，犱．身高在［１９０，１９５］ 的人数为２人，设为犃，犅． 若狓，狔∈ ［１８０，１８５）时，有犪犫，犪犮，犪犱，犫犮，犫犱，犮犱共六种情况． 若狓，狔∈ ［１９０，１９５］时，有犃犅 共一种情况． 若狓，狔分别在［１８０，１８５），［１９０，１９５］内时，有犪犃，犫犃，犮犃，犱犃，犪犅，犫犅，犮犅，犱犅共８ 种情况 所以基本事件的总数为６＋８＋１＝１５种， ……９分 事件狘狓－狔狘≤５所包含的基本事件个数有６＋１＝７种，故满足狘狓－狔狘≤５的 事件概率狆＝ ７ １５ ． ……１２分 １９．证明：１）∵　犃犅犆犇 是菱形，　∴　犃犆⊥犅犇 ……２分 高三数学（文科）答案　第２页　（共４页）　（２０１８．３） ∵　犇犈 ⊥ 平面犃犅犆犇，犃犆 平面犃犅犆犇 ∴　犃犆⊥犇犈，又犅犇 ∩犇犈 ＝犇 ……４分 ∴　犃犆⊥ 平面犈犇犅犉，犇犉  平面犈犇犅犉 ∴　犃犆⊥犇犉 ……６分 ２）易知Δ犈犃犉 和Δ犆犉犈 都是等腰三角形，取犈犉 的中点犌，连接犃犌，犆犌． 则犈犉 ⊥犃犌，犈犉 ⊥犆犌，犃犌 ∩犆犌 ＝犌 ∴　犈犉 ⊥ 平面犃犌犆，犈犉  平面犆犈犉， ……８分 ∴　 平面犃犌犆⊥ 平面犆犈犉 过犃作犃犎 垂直犆犌 于犎，则犃犎 即为所求． ……９分 在Δ犃犌犆中， １ ２ 犆犌·犃犎 ＝ １ ２ 犃犆·犌犗，（犗为犃犆与犅犇 的交点） ∴　犃犎 ＝ 槡４ ２１ ７ ，即犃到平面犆犈犉 的距离为 槡４ ２１ ７ ……１２分 ２０．解：（１） 犮 犪 ＝ １ ２ ， 犮＝１ 烅 烄 烆 ， 　∴　犮＝１，犪＝２，　∴　犫＝槡３， ∴　 椭圆方程为 狓２ ４ ＋ 狔 ２ ３ ＝１． ……４分 （２）① 当犘犕 ⊥狓轴时，犘（槡３， 槡３ ２ ），犙（槡３，狋） 由 →犗犘· →