精品解析：河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年5月高一期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（ ） A. 只有一条，不在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内 C. 只有一条，且在平面内 D. 有无数条，且在平面内 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则b的最大值为 C. 若的面积为，则a的最小值为2 D. 若，，，，则动点D的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 13. 在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； （2）若复数，求m的值． 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 17. 如图，在中，，，，． （1）用，表示； （2）若，，求． 18. 如图，在中，，D为边AC上一点，且，． （1）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年5月高一期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】 ， 又， ，解得． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误； 对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误； 对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误； 对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确． 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，， 不妨设，，， 则由余弦定理，， 因为，所以． 5. 若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（ ） A. 只有一条，不在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内 C. 只有一条，且在平面内 D. 有无数条，且在平面内 【答案】C 【解析】 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A， 由面面垂直的性质定理可知，， 假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行， 又因为都过点P，所以这两直线重合， 因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内， 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A． 7. 已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以单位向量为基底建立坐标系，将用夹角表示，通过向量模长公式将转化为含的三角函数，再结合，确定的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设与的夹角为，与的夹角为， 又因为，， 所以且，即与和的夹角均为锐角， 又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间， 如图所示，其中，，，则有， 则， 因为即，所以， 则，则， 即． 8. 已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正四棱锥外接球表面积，求出外接球半径；结合正四棱锥性质，可知外接球球心在顶点到底面的投影所在直线上.设，利用勾股定理推导底面边长，再通过均值不等式求出的最大值及取等条件、；最后分球心在棱锥内部（高）和外部（高）两种情况，计算出正四棱锥的对应体积和. 【详解】设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以. 因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面. 因为是正四棱锥，则点O一定在直线上. 如图1所示，连接OA，因为，所以. 设，则，所以. 则. 当且仅当，即时等号成立，即，． 当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为. 则正四棱锥的体积. 当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为. 则正四棱锥的体积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误； 对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 10. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则b的最大值为 C. 若的面积为，则a的最小值为2 D. 若，，，，则动点D的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角转换，结合三角形内角和与三角函数恒等变换公式可求角，判断A的真假；利用正弦定理表示边，结合三角函数的值域确定的最大值，判断B的真假；利用三角形的面积公式结合角的值，可求的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求边的最小值，判断C的真假；利用向量判断点的轨迹为三角形角的角平分线，再利用面积法求三角形角平分线的长度，可判断D的真假. 【详解】对A，因为， 所以， 则， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，故A错误； 对B，因为，，由正弦定理得：， 即，所以， 当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确； 对C，若的面积为，则有，即， 因为， 所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确； 对D，因为，，即，， 则， 则点D在角A的内角平分线所在直线上． 当时，，则D，B，C三点共线， 设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE． 则， 根据， ， ，则，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得， 所以实数x的取值范围为． 13. 在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】棱CD上取一点P，使得，，进而得到异面直线与所成的角即为，再设出正方体边长为6，根据勾股定理求出三角形的每个边长，再根据余弦定理即可求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且， 由得，点N为棱BC的中点， 在棱CD上取一点P，使得，连接，PN， 则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设正方体棱长为6，则，，所以， ，． 所以，异面直线与所成角的余弦值为． 14. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量，求出，，的夹角为，设，，作图，利用正弦定理求外接圆的半径，再由求最值即可. 【详解】在上的投影向量为，即，所以，因为，所以，设，的夹角为，则，又因为，所以．如图， 设，，，则，，由已知可得，，，．连接AB，则，又因为，在中，由正弦定理得：，即，所以的外接圆的半径为2，设圆为的外接圆，点C为优弧上任意一点，则，取AB的中点M，则，求的最大值，即求的最大值，当C，，M三点共线时，即点C在优弧的中点时，最大，又因为是边长为2的正三角形，所以，即的最大值为，所以的最大值为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； （2）若复数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数对应的点的坐标建立方程组求解即可； （2）由可知为纯虚数，建立方程求解即可. 【小问1详解】 若复数z在复平面内对应点， 则有， 解得； 【小问2详解】 设复数， 若为负实数，则有， 则有且，即为纯虚数． 因复数， 则复数z为纯虚数，即， 解得． 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 17. 如图，在中，，，，． （1）用，表示； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知向量条件推得点的位置关系，把用基底线性表示，再由模长和垂直条件列出向量平方与数量积方程，整理得到及数量积的关系式； （2）将所求向量数量积展开为基底运算形式，代入前面推得的等量关系整体代换化简，求出最终数值结果. 【小问1详解】 因为，所以. 所以． 因为，所以为线段的中点. 所以； 【小问2详解】 因为，，所以． ，所以． 所以， 所以①， 因为，所以， 所以①． 18. 如图，在中，，D为边AC上一点，且，． （1）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ⅱ） （2） 【解析】 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【小问1详解】 连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM； 【小问2详解】 分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $