河南省洛阳市2018届高三下学期尖子生第一次联考数学（理）试卷（扫描版）

洛阳市２０１７———２０１８学年下学期尖子生第一次联考 高三数学试题参考答案（理） 一、选择题 １－５ＢＤＢＢＣ　６－１０ＤＡＤＣＢ　　１１－１２ＣＤ 二、填空题 １３．８１　　１４．狓＋狔－２＝０　　１５．２　　１６．２４ 三、解答题 １７．证明：（１）∵　犛犿，犛犽，犛犾 成等差数列且狇≠１， ∴　２ 犪１（１－狇 犽） １－狇 ＝ 犪１（１－狇 犿） １－狇 ＋ 犪１（１－狇 犾） １－狇 ……２分 ∴　２犪１狇 犽 ＝犪１狇 犿 ＋犪１狇 犾 ∴　２犪犽＋１ ＝犪犿＋１＋犪犾＋１ ∴　 存在不同的三项成等差数列， ……４分 犪犿，犪犽，犪犾 和犪犿＋１，犪犽＋１，犪犾＋１ 都合题意． ……６分 （２）假设存在一项犪犽 使得犪犽 ＝犪狆＋犪狆＋１（狆∈犖 ）， 即狇 犽 ＝狇 狆 ＋狇 狆＋１，　∵　狇＞１，显然犽＞狆， ……８分 ∴　狇 犽－狆－１ ＝１＋ １ 狇 ，等式左边为正整数，右边为分数， ……１０分 不合题意，所以不存在一项犪犽 恰好可以表示为该数列中连续两项之和 ……１２分 （利用狇 犽－狆 ＝１＋狇，然后进行奇偶分析也可得到矛盾。） １８．（１）证明：∵　犘犆⊥ 底面犃犅犆犇，犃犆 平面犃犅犆犇， ∴　犘犆⊥犃犆． ……１分 ∵　犃犅 ＝２，犃犇 ＝犆犇 ＝１，　∴　犃犆＝犅犆＝槡２， ∴　犃犆 ２ ＋犅犆 ２ ＝犃犅 ２， ∴　犃犆⊥犅犆，又犅犆∩犘犆＝犆， ……２分 ∴　犃犆⊥ 平面犘犅犆， ……３分 又犃犆 平面犈犃犆， ∴　 平面犈犃犆⊥ 平面犘犅犆． ……５分 （２）解：取犃犅 的中点犉，连结犆犉，则犆犉 ⊥犃犅， 以点犆为原点，建立如图空间直角坐标系， 可得：犆（０，０，０），犃（１，１，０），犅（１，－１，０）， 设犘（０，０，犪）（犪＞０），则犈（ ２ ３ ，－ ２ ３ ，犪 ３ ）， → 犆犃 ＝ （１，１，０）， → 犆犘 ＝ （０，０，犪）， → 犆犈 ＝ （ ２ ３ ，－ ２ ３ ，犪 ３ ），取珤犿＝ （１，－１，０），则珤犿· → 犆犘 ＝珤犿· → 犆犃 ＝０， ∴　珤犿为平面犘犃犆的法向量． ……７分 设珗狀＝ （狓，狔，狕）为平面犈犃犆的法向量， 高三数学（理）答案　第１页　（共４页）　（２０１８．３） 则 珗狀· → 犆犃 ＝０ 珗狀· → 犆犈 ＝｛ ０，即 狓＋狔＝０ ２狓－２狔＋犪狕＝ ｛ ０ ， 取珗狀＝ （犪，－犪，－４）， ……８分 ∵　 二面角犘－犃犆－犈的余弦值为 槡６ ３ ， ∴　狘ｃｏｓ＜珤犿，珗狀＞狘＝ 狘珤犿·珗狀狘 狘犿 → 狘狘狀 → 狘 ＝ ２犪 槡２× ２犪 ２ ＋槡 １６ ＝ 槡６ ３ ， ……９分 解得犪＝４， ∴　珗狀＝ （４，－４，－４）， → 犘犃 ＝ （１，１，－４）． ……１０分 设直线犘犃 与平面犈犃犆所成角为θ， 则ｓｉｎθ＝狘ｃｏｓ＜ → 犘犃，珗狀＞狘＝ 狘 → 犘犃·珗狀狘 狘 → 犘犃狘狘珗狀狘 ＝ １６ 槡１８× １６×槡 ３ ＝ 槡２６ ９ ， ……１１分 ∴　 直线犘犃 与平面犈犃犆所成角的正弦值为 槡２６ ９ ． ……１２分 １９．（１）记事件犃为恰好有两个是自己的实际分，犘（犃）＝ ２犆 ２ ５ 犃 ５ ５ ＝ １ ６ ……３分 （２）珚狓＝７０，珔狔＝６６， 犫＝ ∑ 狀 犻＝１ 狓犻狔犻－狀珚狓珔狔 ∑ 狀 犻＝１ 狓犻 ２ －狀珚狓 ２ ＝０．３６，犪＝４０．８， ……５分 回归直线方程为狔＝０．３６狓＋４０．８ ……６分 （３）∑ 狀 犻＝１ （狔犻－狔^犻）＝０， 所以为“优拟方程” ……１２分 ２０．解：（１）设 犃犉１ 的中点为犕，在三角形犃犉１犉２ 中，由中位线得： 犗犕 ＝ １ ２ 犃犉２ ＝ １ ２ （２犪－ 犃犉１ ）＝犪－ １ ２ 犃犉１ ……３分 当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差， 即 犗犕 ＝３－ １ ２ 犃犉１ ∴　犪＝３，又犲＝ 槡２２ ３ ，　∴　犮＝ 槡２２，，故椭圆的方程为 狓 ２ ９ ＋狔 ２ ＝１． ……５分 （２）当直线犃犅 斜率存在时，设直线犃犅 方程为：狔＝犽（狓＋ 槡２２） 设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２） 由 狓 ２ ＋９狔 ２ ＝９ 狔＝犽（狓＋ 槡２２ 烅 烄 烆 ） 得（９犽 ２ ＋１）狓 ２ ＋ 槡３６２犽 ２ 狓＋７２犽 ２ －９＝０ 又Δ＞０恒成立 　 高三数学（理）答案　第２页　（共４页）　（２０１８．３） ∴　狓１＋狓２ ＝－ 槡３６２犽 ２ ９犽 ２ ＋１ ，狓１狓２ ＝ ７２犽 ２ －９ ９犽 ２ ＋１ ……７分 狔１狔２ ＝犽 ２（狓１＋ 槡２２）（狓２＋ 槡２２）＝ －犽 ２ ９犽 ２ ＋１ ……８分 设犜（狓０，０） → 犜犃· → 犜犅 ＝狓