精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

广州六中2024级高二下期末考试题（数学） 命题老师：刘旭升 莫秀玲 黄燕 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种 A. 12 B. 18 C. 36 D. 72 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（ ） A. 0.925 B. 0.4625 C. 0.48 D. 0.525 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和 D. 若，则数列一定是等比数列 10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题（每题5分，共15分；第13题第1空2分，第2空3分） 12. 已知，则_________． 13. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如表所示，由表中数据算得：__________________（精确到0.001），若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.则根据所给参考数据，的最小值为__________________. 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14. 若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（共5小题，77分） 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. （1）求参数的最小二乘估计； （2）现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州六中2024级高二下期末考试题（数学） 命题老师：刘旭升 莫秀玲 黄燕 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由集合，，可得， 又由集合，所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 4. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于为奇函数，故. 5. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种 A. 12 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为； 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为； 根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种. 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（ ） A. 0.925 B. 0.4625 C. 0.48 D. 0.525 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式展开即可求得结果. 【详解】定义事件发送信号为0，发送信号为1，接收信号为0，接收信号为1 由题意可知：， 发送0时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 发送1时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 根据全概率公式可得：． 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得. 【详解】不妨设点为第一象限内一点，因为，所以直线的斜率为， 又抛物线的方程为，所以，所以直线的方程为， 联立，解得或（舍去），即点， 所以，. 8. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和 D. 若，则数列一定是等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件求得等差数列公差，写出其通项公式，求和公式，结合等比数列定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：， 则，显然数列是递增数列，故A错误，B正确； 因，故C错误； 令，，所以数列是公比为的等比数列，故D正确. 10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可. 【详解】对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，的可能取值为，， 则，又，则，C正确； 对于D，，而，则，D正确. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解． 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于C,，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即, 关于对称，D正确． 三、填空题（每题5分，共15分；第13题第1空2分，第2空3分） 12. 已知，则_________． 【答案】63 【解析】 【分析】赋值法，令，. 【详解】， 令，得，令，得， 所以63. 13. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如表所示，由表中数据算得：__________________（精确到0.001），若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.则根据所给参考数据，的最小值为__________________. 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】 ①. 5.333 ②. 0.05 【解析】 【分析】根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答. 【详解】. 因为， 若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同， 所以根据所给参考数据，的最小值为. 14. 若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数探讨函数的性质，当时确定不等式的整数解，当时，作出函数的图象，由条件建立不等式组求解. 【详解】不等式，令函数，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ，函数的图象是过定点的直线， 当时，若，则， 而，此时仅有两个整数使得不等式成立； 当时，在同一坐标系内作出的图象，如图： 由，得2是不等式的一个整数解， 要使不等式解集中有且仅有两个整数，则或， 即或，解得，此时， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（共5小题，77分） 15. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值. （2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. 【小问2详解】 计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； （2）或 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 18. 假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. （1）求参数的最小二乘估计； （2）现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将展开，结合二次函数最值计算即可求解； （2）①将数据代入公式即可求解；②由数据确定单次抽到“大偏差”的概率为，再结合二项分布，计算概率，进而可求解. 【小问1详解】 残差平方和 ， 由二次函数性质可知，当且仅当时残差平方和最小， 故的最小二乘估计； 【小问2详解】 ①由观测数据求得， 则， 故所求经验回归方程为. ②计算样本点的残差的绝对值如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0.5 1 2 0.5 1.5 0.5 故“大偏差”样本点共有2个，频率为， 即单次抽到“大偏差”的概率， 因此，， 由，解得， 由，解得， 又因为，且， 所以当最大时，. 19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知的方程为，此时， ，， ， 到直线的距离， 因为的面积，解得满足， 因为，所以，， 则，所以， 则． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求数列的通项公式； （2）设的方程为．联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而可得，计算可求直线的斜率； （3）求得，结合三角形的面积可得，可得 ，可证明结论. 【小问1详解】 由，解得， 因为的一个焦点为，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知,即． 因为的内心在过且垂直于轴的直线上，所以， 设,，的方程为， 将其代入整理得． ，即， 由韦达定理可得，，(*) 把代入，可得,由对称性，不妨取， 由得， 整理得， 即 , 将(*)代入，整理得， 当时，过点，舍去， 所以，解得． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $