江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高一第二学期第四次调研考试数学试卷

③南京市励悬高级中量 励志高级中学2025—2026年度高一年级第二学期第四次调研考试 数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 命题人苏太盛 审题人赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效；在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.已知复数z满足iz+2=2i,则=() A.√5 B.2V2 C.4 D.8 2.已知eN,向量a=(2,2),b=(1,),c=(2-4,2),若(a+b)Lc,则的值为() A.-1 B.1 C.0 D.0或-1 3.已知点（匹，0）是函数f(x)=sin cx+cOS的对称中心，则w的值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知一组数据：4,6，a,10,12,14的平均数为9，则这组数据的第70百分位数为() A.9 B.10 C.11 D.12 π1 5.已知tam4ta2,则sn2a的值为（） A c 6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天” 中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、 夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节 气不在同一个月的概率为（) B.5 D.14 15 7已知a1C的内角1,8，C的对边分别为ahc,+o=3,且m与子b=3,则a1C的 形状为() A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 第1页共4页 8.在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心 为A,圆与BC,CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥 的侧面和底面（接缝处忽略不计），则正方形的周长为() A.10W5-2 B.10+4√2 C.10W2+2 D.4+10W2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重 量如下：206,200,198,205,200,200,202,190,192,210（单位：g),重量在[195,205](g)内的 水果为优质水果，则() A.估计这块水果园中优质水果占60% B.这10个数据的中位数与众数相等 C.从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小D.这10个数据的极差小于10 10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A,“点数小于5”记为事件B, “点数大于5”记为事件C.下列说法正确的是() AP号 B.P(d) C.A与C互斥 D.P(AUB)=P(A)+P(B) 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为6，P,M,N分别为A4,AD,DD的中点，则() A.平面B,PD/平面BMN D C A B.直线B,P//平面BMW B C.三棱锥P-BMN的体积为18 D D.平面BN截正方体所得的截面是等腰梯形 M B 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知正四棱锥的底面边长为8，高为3，则这个正四棱锥的侧面积为 13.已知sin(a+B)sin(a-P)=,则cos2a-cos2B= 6 3 14.在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有 1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个 9 数不全是奇数的概率为 第2页共4页 ③南京市励悬离级中量 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.已知向量a-L0).b-m1),且a与6的夹角为号 (1)求2a-； (2)若a+石与2a-b平行，求实数2的值： (3)求a+b与上的投影向量. 16.某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级 ◆频率/组距 0.040 的成绩中随机抽取200名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所 示，其中分数在[60,70)内的学生有30人. n m (I)求，n的值； 0.005 (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总 5060708090100分数 体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少？ (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在[70,80)和[80,90)内的学生中共抽取6人查看他们的答 题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在[70,80)内的概率. 17.一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出 一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。 (1)求编号和为5的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？说明理由： (3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？ 第3页共4页 18.已知a=（V3sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a.i. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若x是一个直角三角形的一个锐角的度数，求f(x)的值域， 3)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若f(B)=号且b=√5，求△ABC周长的最大值. 19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E为PD的中点，点F在棱PC 上，直线AE和直线BF相交， D (I)求证：EF∥CD; (2)AD=DC=2,AB=4,PA=BC=22. E (i)证明：BC⊥平面PAC; (ii)求直线AB与平面PBC所成的角. A B D 第4页共4页③南东市励志高级中学 数学试卷参考答案 15.【详解】(1)解：因为ā=(1,0)，5=(m,1),可得团=1,5=Vm+1且a.3=m, 又因为a与的夹角为， ab L 可得cosa,b 5 1×Vm2+1 2’… 1分 解得l=1或l=-1,… 。…2分 s亚=m一>0，所以m=1, 因为cos .3分 41'Vm2+1 所以a=(1,0),b=(1,1), 则2a-b=(2,0)-(1,1)=(1,-1),所以2ā-=2 ………4分 (2)解：因为a=(1,0),b=(1,1), 所以ā+b=(1,0)+(2,2)=1+,),2ā-b=(1,-1), .6分 又因为a+乃与2a-b平行，所以-(1+2)=1，解得1= .8分 2 (3)解：因为a=(1,0),五=1,1)，可得ā+b=(2,1), .9分 所以a+在b上的投影向量 a+)五6-2 33 (2’2 .13分 30 16.【详解】(1)由题意得m= =0.015, .2分 200×10 由图可得：(0.005+0.015+2n+0.040)×10=1,解得n=0.020.......4分 (2)设受表彰的学生的最低分是x, [90,100)频率为0.020×10=0.2<34%， [80,100)频率为0.020×10+0.040×10=0.6>349%， .6分 故x∈(80,90)，且0.20+(90-x)×0.040=0.34,解得x=86.5,.9分 故受表彰的学生的最低分是86.5 (3))由分数在[70,80)和[80,90))内的频率之比为1：2， 故从成绩在[70,80)和[80,90)内的学生中共抽取6人， 则在[70,80)内抽取2人，记为a,b 在[80,90)内抽取4人，记为C,d,,∫.… 11分 第1页共4页 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： {ab,ac,ad,ae,gf,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,f,ef},共15个样本点， 这2人中恰有1人成绩在[70,80)内的有： {ac,ad,ae,a,bc,bd,be,bf},共8个样本点， 故这2人中恰有1人成绩在[70,80)内的概率 8 5 .15分 17. 【详解】(1)根据题意可知摸出的所有球的组合情况共有以下情况： (甲、乙) 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 共25种情况，… …4分 其中编号和为5的事件发生的情况有(2,3)，(3,2)，(1,4)，(4,1)，共4种： 因此编号和为5的事件发生的概率P=4 5 ...6分 (2)易知两个编号的和为偶数的情况共有13种， 如果两个编号的和为偶数算甲赢，则甲赢的概率为A= 25 则乙赢的概率为2=12 25 显然两人赢的概率并不相等，因此这种游戏规则不公平.… .10分 (3)设甲胜为事件A,乙胜为事件B; 则甲胜即摸出球的两个编号的和为偶数所包含的基本事件数为8个， 即(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)： 不放回摸球时易知甲、乙两人取出的数字共有25-5=20种 因比甲的落幸为P)品子乙温车为R)品} .14分 第2页共4页 ③南京市励志高级中星 显然此时P(A<P(B),此时游戏对乙有利. ..15分 18.【详解】(1)由a=(W3sinx,-cosx),b=(cosx,cosx), 则儿-a6-5mc0m-cs-号n2x-6oa+1血6- 62.4分 2》当e(o,3)时.2音（看爱》 66 …….5分 则当2x名分(x子时，取得m2君引 6 的最大值为1；… 7分 当2x名0时，m2x 6 6 2 ……9分 放7)m2x君}5的值该为 1 ….10分 3》)m25} 8为△ABC的内角，0<B<元，放2B-元11切 66 2B-亚=正则B= 6-2 3 .13分 又b=√5，由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB, 得3=a2+c2-ac,即(a+c2-3ac=3. 的不侣号ar (2 即a+cs33(a+c}s12,从而a+c≤25， 4 当且仅当a=c=√3时取等号，此时△ABC为等边三角形. 周长最大值：a+b+c=2√5+V5=35 .17分 19.【详解】(1)直线AE和直线BF相交，故A,B,F,E四点共面， 四棱锥P-ABCD中，AB//CD,ABC平面ABFE, CDE平面ABFE,故CD/平面ABFE, 因为平面PCD∩平面ABFE=EF,CDC平面PCD, 故 D EF∥CD .4分 第3页共4页 (2)(i)AB⊥AD,AB/ICD,故CD⊥AD, 故4C=√AD+CD=25' 所以AB2=AC+BC2,故BC⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 故BC⊥PA,且PA∩AC=A,PAACC平面PAC, 故BC⊥平面PAC… .10分 (ii)因为EF∥CD,E为PD的中点， 故F为PC的中点，且AC=PA=22, 故AF⊥PC, 因为BC⊥平面PAC,AFC平面PAC, 故AF L BC,且PCOBC=C,PC,BCC平面PBC, 故AF⊥平面PBC, 故∠ABF是直线AB与平面PBC所成的角， 因为PA=AC=2√2，PA⊥AC, 所以PC=4,AF=2, 所以如∠0F-招-号∠Aar=30. 故直线AB与平面PBC所成的角为304....... .17分 第4页共4页