沪教版二面角的定义及其求法（共14张PPT）

二面角 广学课堂 一、二面角的定义 二、二面角的画法 二面角 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 直立式 平卧式 β α ι α β ι 二面角 α β ι 三、二面角的平面角 1、定义 二面角 2、二面角的范围： 从二面角棱上任取一点P，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线PA、PB，则　　　　　称为二面角的平面角。 A B P β α ι 二面角 四、作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 A B A B A B O —定义法 —三垂线定理法 —垂面法 二面角 ι p α β p α β ι α β ι p 思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？ l α β O A B l α β O A B 例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 C D 二面角 β α A B P M N O 解： 在PB上取不同于P 的一点O， 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º 又∵∠MPN=60º ∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º a 二面角 ∴CO=a， DO=a， PC a ，PD a ∴CD=PC a O P C 例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 O 二面角 β α A B P ι 过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º 解： O 二面角 例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 由余弦定理得