2017-2018学年七年级数学下册（冀教版）8.6 （后）阶段方法技巧训练（二）专训3　整体思想在整式乘法运算中的应用 (2份打包)

专训3　整体思想在整式乘法运算中的应用 名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视． 幂的运算中的整体思想 1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值． 乘法公式运算中的整体思想 化繁为简整体代入 2．已知a＝x－16， x－18，c＝x－20，b＝ 求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值． 变形后整体代入 3．已知x＋y＝4，xy＝1，求式子(x2＋1)(y2＋1)的值． 4．已知a－b＝b－c＝，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值． 5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 018的值． 6．已知(2 016－a)(2 018－a)＝2 017，求(2 016－a)2＋(2 018－a)2的值． 多项式乘法运算中的整体思想 数字中的换元 7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小． 多项式中的换元 8．计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，且n为正整数)． 答案 1．解：3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y. 因为2x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3， 所以原式＝31＋3＝34＝81. 点拨：本题运用了整体思想和转化思想． 2．解：由a＝×24＝12. ×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝x－16，可得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.从而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝x－18，c＝x－20，b＝ 3．解：(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋x2＋y2＋1＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1.把x＋y＝4，xy＝1整体代入得12＋42－2×1＋1＝16，即(x2＋1)(y2＋1)＝16. 4．解：由a－b＝b－c＝. ＝－×]＝1－＋)2＋×[([(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．将a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值整体代入，可得ab＋bc＋ca＝1－.由(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ac)，得到ab＋bc＋ca＝(a2＋b2＋c2)－，可以得到a－c＝ 5．解：因为a2＋a－1＝0，① 所以将等式两边都乘a，可得a3＋a2－a＝0.② 将①②相加得a3＋2a2－1＝0，即a3＋2a2＝1. 所以a3＋2a2＋2 018＝1＋2 018＝2 019. 6．解：(2 016－a)2＋(2 018－a)2＝[(2 016－a)－(2 018－a)]2＋2(2 016－a)(2 018－a)＝(－2)2＋2×2 017＝4＋4 034＝4 038. 点拨：本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，结合整体思想求解，使计算简便． 7. 解：设123 456 788＝a，则123 456 789＝a＋1，123 456 786＝a－2，123 456 787＝a－1.从而M＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，N＝a(a－1)＝a2－a.所以M－N＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0，所以M＜N. 8．解：设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝(a1＋M)(M＋an)－M(a1＋M＋an)＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an. 点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如这一题，在观察时能发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用． $$ 阶段方法技巧训练（二） 专训3　整体思想在整式乘法运算中的应用 习题课 解决某些数学问题时，把一组数或一个式子 看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程， 而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学 中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整 式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多， 要引起重视. 1 应用 幂的运算中的整体思想 1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值． 3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y. 因为2x＋3y－3＝0， 所以2x＋3y＝3.