安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学（理）试题（PDF版）

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 6页） 合肥市 2018年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12小题,每小题 5分，共 60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B C C D D A C B B D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13.－1 14.3 15.（4，4） 16. 21 3 三、解答题： 17.（Ⅰ）根据正弦定理，由已知得： (sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A− + = ， ……1分 即 sin cos sin cos 2sin cosA C C A B C+ = ， ∴ sin( ) 2sin cosA C B C+ = ， ∵ A C Bπ+ = − ，∴sin( ) sin( ) sin 0A C B Bπ+ = − = > ， ∴ sin 2sin cosB B C= ，从而 1cos 2 C = . ……5分 ∵ (0 )C π∈ ， ，∴ 3 C π= . ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + − = = ，即 2 2 12a b ab+ − = ， ……7分 ∴ 2 2( ) 12 3 3 2 a ba b ab + + − = ≤     ， ……9分 即 2( ) 48a b+ ≤ （当且仅当 2 3a b= = 时等号成立）． 所以， ABC∆ 周长的最大值为4 3 6 3c+ = . ……12分 18.（Ⅰ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则 3 3 3 6 1 19( )=1 1 20 20 CP M C − = − = ， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 19 20 . ……5分 （Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值有0 1 2 3，， ， . ……6分 因为 21 1 1( =0)= = 5 4 80 P X  ×    ， 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 6页） 2 1 2 4 1 1 1 3 1( =1)= + 5 4 5 4 4 8 P X C × × × × =    ， 2 1 2 4 1 3 1 3 33( =2)= + = 5 4 4 5 4 80 P X C  × × × ×    ， 24 3 9( =3)= 5 4 20 P X  × =    ， ……10分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 80 1 8 33 80 9 20 所以 1 10 33 36( )=0 1 2 3 2.3 80 80 80 80 E X × + × + × + × = . ……12分 19.（Ⅰ）证明：连结 AC，交BD于点N ， ∴ N 为 AC的中点，∴ //MN EC . ∵ MN EFC EC EFC⊄ ⊂平面 ， 平面 ， ∴ //MN EFC平面 . ……3分 ∵BF DE， 都垂直底面 ABCD， ∴ //BF DE . ∵BF DE= ， ∴BDEF 为平行四边形，∴ //BD EF . ∵BD EFC EF EFC⊄ ⊂平面 ， 平面 ， ∴ //BD EFC平面 . 又∵MN BD N=∩ ，∴平面BDM ∥平面EFC . ……6分 （Ⅱ）由已知，DE ⊥平面 ABCD， ABCD是正方形 ∴DA DC DE， ， 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz− . 设 2AB = ，则 4DE = ，从而 (2 2 0)B ， ， ， (1 0 2)M ， ， ， (2 0 0)A ， ， ， (0 0 4)E ， ， ， ∴ (2 2 0) (1 0 2)DB DM= = uuur uuuur ， ， ， ， ， ， 设平面BDM 的一个法向量为 ( )n x y z=r ，， ， 由 0 0 n DB n DM  ⋅ =  ⋅ = uuurr uuuurr 得 2 2 0 2 0 x y x z + =  + = . 令 2x = ，则 2 1y