第01讲 2009年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空（本大题共8题，每小题7分，共56分） 1.若函数 且 ，则 ． 2.已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ， 为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 ． 3.在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数 ． 4.使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 ． 5.椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为 ． 6.若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 ． 7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8.某车站每天 ， 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题（本大题共3个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）[来源:Z§xx§k.Com][来源:Zxxk.Com] 9．（本题满分14分）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆 交于不同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 10.（本题满分15分）已知 ， 是实数，方程 有两个实根 ， ，数列 满足 ， ， [来源:学科网] (Ⅰ)求数列 的通项公式（用 ， 表示）； (Ⅱ)若 ， ，求 的前 项和． 11.（本题满分15分）求函数 的最大和最小值． 1 2.(本题满分50分)如图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中点．过点 作 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 ． ⑴求证： ； ⑵在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ），记 ， 的内心分别为 ， ，求证： ， ， ， 四点共圆． 13.（本题满分50分）求证不等式： ， ，2，… 14.(本题满分50分)设 ， 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数 ，使得 与 互素． 15.（本题满分50分）在非负数构成的 数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1， ， ， ， ， ， ， 均大于．如果 的前三列构成的数表 [来源:Z.xx.k.Com][来源:学#科#网] 满足下面的性质 ：对于数表 中的任意一列 （ ，2，…，9）均存在某个 使得 ⑶ ．求证： （ⅰ）最小值 ， ，2，3一定自数表 的不同列． （ⅱ）存在数表 中唯一的一列 ， ，2，3使得 数表 仍然具有性质 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2009全国高中数学联赛一试试题参考答案 一、填空（本大题共8题，每小题7分，共56分） 1.若函数 且 ，则 ．[来源:学*科*网] 【答案】 [来源:学。科。网Z。X。X。K] 【解析】 ， ，……， ．故 ．z学xx科k网 2.已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ， 为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 ． 【答案】 3.在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数 ． 【答案】 【解析】由题意知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 4.使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 ． 【答案】 【解析】设 ．显然 单调递减，则由 的最大值 ，可得 ． 5.椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为 ． 【答案】 于是当 时， 达到最小值 ．z学xx科k网 6．若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 ． 【答案】 或 【解析】当且仅当 ① ② ③ 对③由求根公式得 ， ④ 或 ． (ⅰ)当 时，由③得 ，所以 ， 同为负根． 又由④知 ，所以原方程有一个解 ． (ⅱ)当 时，原方程有一个解 ． (ⅲ)当 时，由③得 ， 所以 ， 同为正根，且 ，不合题意，舍去．综上可得 或 为所求． 7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是