课时分层检测(十) 函数的周期性和对称性（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 函数周期性和对称性分层检测题集，含选择、填空、解答等题型，整合2025-2026年多地联考真题，注重基础巩固与素养提升，适配一轮复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|4|周期性、奇偶性、对称轴|结合聊城检测等真题，基础概念辨析| |多选|2|奇偶性与周期性综合|齐鲁名校联盟联考题，多选项逻辑推理| |填空|2|对称中心、周期计算|八省联考、昆明诊断题，图像对称应用| |解答|1|对称性证明、单调区间|无锡检测题，步骤化论证| |素养提升|1|对称中心推广、类比推理|创新应用，引导结论推广|

课时分层检测（十） 函数的周期性和对称性 知识过关 一、单项选择题 1. 已知定义在上的奇函数满足，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 （2026·聊城检测） 2. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线轴对称 3. 函数与函数图象关于直线对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. （2026·海口调研） 4. 已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 二、多项选择题 （2025·齐鲁名校联盟联考） 5. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. （2026·漳州质检） 6. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 三、填空题 （2025·八省联考） 7. 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为____________． （2026·昆明诊断） 8. 已知函数对满足，且．若的图象关于对称，，则__________． 四、解答题 （2026·无锡检测） 9. 已知函数． （1）判断并证明函数的对称性； （2）求的单调区间． 素养提升 10. 函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数． （1）若，求此函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论． 课时分层检测（十） 函数的周期性和对称性 知识过关 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以2是的一个周期， 所以． 故选. （2026·聊城检测） 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选：C 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数对称性求值即可. 【详解】设， 因为函数与函数图象关于直线对称， 所以. 故选：A （2026·海口调研） 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件推出函数的一个周期，从而得到，再根据和得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 因为，故， 即，所以， 故， 故函数的一个周期， 故， 中，令得，， 因，所以， 故. 故选：A 二、多项选择题 （2025·齐鲁名校联盟联考） 【5题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的对称性判断BD，构造函数判断出AC错误. 【详解】因为为偶函数，所以，函数关于对称， 因为为奇函数，所以，函数关于点对称， 因为函数定义域为，所以，B正确； 又因为函数关于对称，所以， 由可得令，，D正确； 可构造函数满足题意，此时，AC错误； 故选：BD （2026·漳州质检） 【6题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 三、填空题 （2025·八省联考） 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合， 所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增， 由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图， 可知，， 所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据. （2026·昆明诊断） 【8题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了函数的奇偶性，周期性，掌握函数奇偶性与周期性的推导方法是解题的关键． 先由的对称性得为偶函数，代入特殊值求，推导函数周期，再求． 【详解】解：∵的图象关于对称， ∴的图象关于对称，即是偶函数． 对于，令，可得， ∵， ∴，则， ∴函数对满足，， ∴，即是周期为4的周期函数． 在中，令，可得，又，则． 因为 所以． 故答案为：． 四、解答题 （2026·无锡检测） 【9题答案】 【答案】（1）的图象关于直线对称，证明见解析 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【详解】（1）的图象关于直线对称． 证明：由，得， 所以的定义域为． 因为， ，所以， 所以的图象关于直线对称． （2）设，， 当时，单调递增，也单调递增， 故在上单调递增． 又的图象关于直线对称， 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 素养提升 【10题答案】 【答案】（1）函数的图象的对称中心为 （2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数 【解析】 【分析】（1）根据对称中心的充要条件，构造奇函数，利用奇函数性质列方程，对比系数求； （2）类比中心对称的结论，推广轴对称的充要条件． 【小问1详解】 解：设函数的图象的对称中心为点，， 则为奇函数，故， 故， 即， 即． 整理得， 故，解得， 所以函数的图象的对称中心为． 【小问2详解】 解：推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数． 【点睛】本题考查了函数的对称性，奇函数与偶函数的性质，掌握函数对称性的充要条件及构造函数的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $