第02讲 2010年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 函数 的值域是 . 2. 已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 . 3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ，则 . 5. 函数 在区间 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ,则 . 8. 方程 满足 的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）[来源:Zxxk.Com] 9. （本题满分16分）已知函数 ，当 时， ，试求 的最大值. 10.（本题满分20分）已知抛物线 上的两个动点 ，其中 且 .线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 面积的最大值. 11.（本题满分20分）证明：方程 恰有一个实数根 ，且存在唯一的严格递增正整数数列 ，使得 .[来源:Z+xx+k.Com] [来源:Z*xx*k.Com] 1.（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆． 2.（本题满分40分）设k是给定的正整数， ．记 ， EMBED Equation.DSMT4 ．证明：存在正整数m，使得 为一个整数．这里， 表示不小于实数x的最小整数，例如： ， ． 3. （本题满分50分）给定整数 ，设正实数 满足 ，记 ． 求证： ． 4.（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ [来源:学科网] [来源:学科网] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 函数 的值域是 . 【答案】 【解析】易知 的定义域是 ，且 在 上是增函数，从而可知 的值域为 . 2. 已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 . 【答案】 3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 【答案】9800 [来源:学科网ZXXK] 【解析】提示：由对称性知，只要先考虑 轴上方的情况，设 与双曲线右半支于 ,交直线 于 ，则线段 内部的整点的个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个数为 .又 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 . z学科xx网k 4.已知 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ，则 . 【答案】 【解析】提示 ：设 的公差为 的公比为 ，则 （1） ， （2） （1）代入（2）得 ，求得 . 从而有 对一切正整数 都成立，即 对一切正整数 都成立. 从而 ，求得 ， . z学科xx网k 5. 函数 在区间 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 【答案】 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 【解析】提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为 ，从而先投掷人的获胜概率为 EMBED Equation.3 . 7.正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ,则 . 【答案】 【解析】 .所以 . 解法二：如图，z学科xx网k . 又 . . z学科xx网k 8.方程 满足 的正整数解 的个数是 . 【答案】336675 [来源:学科网] 【解析】提示：首先易知 的正整数解的个数为 . 把 满足 的正整数解分为三类： （1） 均相等的正整数解的个数显然为1； （2） 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设 两两均不相等的正整数解为 . 易知 ， 所以 EMBED Equation.3 ，