第03讲 2011年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．设集合 ，若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合 ．[来源:Zxxk.Com] 2．函数 的值域为 ． 3．设 为正实数， ， ，则 ． 4．如果 ， ，那么 的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体 中，已知 ， ， ，则四面体 的外接球的半径为 ．[来源:学.科.网] 7．直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线上的一点， ，则点 的坐标为 ． 8．已知 C ，则数列 中整数项的个数为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9．（本题满分16分）设函数 ，实数 满足 ， ，求 的值． 10．（本题满分20分）已知数列 满足： R且 ， EMBED Equation.3 N ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，试比较 与 的大小． 11．（本题满分20分）作斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 两点（如图所示），且 在直线 的左上方． （1）证明：△ 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若 ，求△ 的面积．[来源:学§科§网] 一、（本题满分40分）如图， 分别是圆内接四边形 的对角线 的中点．若 ，证明： ． [来源:学科网] 二、（本题满分40分）证明：对任意整数 ，存在一个 次多项式 具有如下性质： （1） 均为正整数； （2）对任意正整数 ，及任意 个互不相同的正整数 ，均有 ． 三、（本题满分50分）设 是给定的正实数， ．对任意正实数 ，满足 的三元数组 的个数记为 ．证明： ． 四、（本题满分50分）设A是一个 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个 的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值. [来源:Z_xx_k.Com] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 1．设集合 ，若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合 ． 【答案】 . 2．函数 的值域为 ． 【答案】 . 【解析】提示：设 ，且 ，则 ． 设 ，则 ，且 ，所以 ． 3．设 为正实数， ， ，则 ． 【答案】-1. 【解析】提示：由 ，得 ．又 ， 即 ． ① 于是 ． ② 再由不等式①中等号成立的条件，得 ．与②联立解得 或 故 ．z学科xx网k 4．如果 ， ，那么 的取值范围是 ． 【答案】 . 【解析】提示：不等式 等价于 . 又 是 上的增函数，所以 ，故 Z)． 因为 ，所以 的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 【答案】15000. 【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有 种方案； （2）有两个项目各有2人参加，共有 种方案； 所以满足题设要求的方案数为 ．z学科xx网k 6．在四面体 中，已知 ， ， ，则四面体 的外接球的半径为 ． 【答案】 . 【解析】 7．直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线上的一点， ，则点 的坐标为 ． 【答案】 或 ．[来源:Zxxk.Com] 【解析】提示： 设 ，由 得 ，则 ， ． 又 ，所以 ， ． 因为 ，所以 ，即有 ， 即 ， 即 ， 即 ． 显然 ，否则 ，则点 在直线 上，从而点 与点 或点 重合．所以 ，解得 ． 故所求点 的坐标为 或 ．z学科xx网k 8．已知 C ，则数列 中整数项的个数为 ． 【答案】15. 【解析】提示： C ． 要使 为整数，必有 均为整数，从而 ． 当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 和 均为非负整数，所以 为整数，共有14个． 当 时， C ，