第04讲 2012年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是_____________. 2.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，则 的值是_______. 3.设 ，则 的最大值是_____________. 4.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ．设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是_____________. 5．设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球．若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值_____________. 6.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____________. 7．满足 的所有正整数 的和是_____________. 8．某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 种密码的概率是_________.（用最简分数表示） 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9．（本小题满分16分）已知函数 （1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围； （2）若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．[来源:学.科.网] 10．（本小题满分20分）已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有[来源:学科网ZXXK] （1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 ; （2）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．[来源:学§科§网] 11．（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 ． （1）求证： 为定值； （2）当点A在半圆 （ ）上运动时，求点 的轨迹． 一、（本题满分40分）如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得 设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线. [来源:学科网ZXXK] 二、（本题满分40分）试证明：集合 满足[来源:Z,xx,k.Com] （1）对每个 ，及 ，若 ，则 一定不是 的倍数； （2）对每个 （其中 表示 在Ｎ 中的补集），且 ，必存在 ， ，使 是 的倍数． 三、（本题满分50分）设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为 求证： 四、（本题满分50分）设 ， 是正整数．证明：对满足 的任意实数 ，数列 中有无穷多项属于 ．这里， 表示不超过实数 的最大整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是 ． 【答案】-1 【解析】方法1:设 则直线 的方程为 即 由 又 所以 故 z学科xx网k 2.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，则 的值是 . 【答案】4 3.设 ，则 的最大值是 . 【答案】 [来源:Z|xx|k.Com] 【解析】不妨设 则 因为 所以 当且仅当 时上式等号同时成立.故 4.抛物线 的焦点为 ，准线为ｌ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ．设线段ＡＢ的中点 在ｌ上的投影为 ，则 的最大值是 . 【答案】1 5．设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球．若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是 ． 【答案】4 【解析】如图.连结 ,则 平面 ,垂足 为正 的中心,且 过球心 ,连结 并延长交 于点 ,则 为 的中点,且 ,易知 分别为正三棱锥 的侧面与底面所成二角的平面角,则 ,从而 ,因为 所以 即 z学科xx网k 所以 ,故 6. 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 ７．满足 的所有正整数 的和是 ． 【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当 时, 由此得 [来源:Zxxk.Com] 所以 故满足 的正整数 的所有值分别为 它们的和为 . 8．某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 【答案】 [来源:Zxxk.Com] 【解析】用 表示第 周用 种密码的概率,则第 周末用 种密码的概率为