第05讲 2013年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 设集合 ，集合 .则集合 中所有元素的和为 . 2. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，满足 ， 是抛物线的焦点.则 .[来源:学*科*网Z*X*X*K] 3. 在 中，已知 ， ,则 的值为 . 4. 已知正三棱锥 底面边长为1，高为 ，则其内切球半径为 . 5. 设 为实数，函数 满足：对任意 ，有 .则 的最大值为 . 6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 . 7. 若实数 满足 ，则 的取值范围是 . 8. 已知数列 共有9项，其中 ，且对每个 ，均有 ，则这样的数 列的个数为 . 2、 解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.（本题满分16分）给定正数数列 满足 ， ，这里 . 证明：存在常数 ,使得 ， . 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系 中，椭圆的方程为 ， 分别为椭圆的左、右顶点， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上不同于 和 的任意一点.若平面中两个点 满足 ， , , ，试确定线段 的长度与 的大小关系，并给出证明. 11.（本题满分20分）求所有的正实数对 ，使得函数 满足：对任意实数 ，有 . [来源:学|科|网] 一、（本题满分40分）如图， 是圆 的一条弦， 为弧 内一点，E、F为线段 上两点，满足 .连接 并延长，与圆 分别相交于点 .求证： 二、（本题满分40分）给定正整数 .数列 定义如下： ，对整数 ， 记 .证明：数列 中有无穷多项是完全平方数.[来源:Z。xx。k.Com][来源:学科网ZXXK] 三、（本题满分50分）一次考试共有 道试题， 个学生参加，其中 为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 ，求 得最大可能值. 四、（本题满分50分）设 为大于1的整数， .证明：存在 个不被 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被 整除. [来源:学科网ZXXK] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1、 设集合 ，集合 .则集合 中所有元素的和为 . 【答案】-5 【解析】易知 ，当 时， ，有 ；而当 时， ，有 .因此，根据 的定义可知 .所以，集合 中所有元素的和为-5. z学科xx网k 2、 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，满足 ， 是抛物线的焦点. . 【答案】2. 3、 在 中，已知 ， ,则 的值为 . 【答案】11. 【解析】由于 ，所以 ，故 . 4、 已知正三棱锥 底面边长为1，高为 ，则其内切球半径为 .[来源:学科网ZXXK] 【答案】 【解析】[来源:Zxxk.Com] 如图，设球心 在面 与面 内的射影分别为 和 ， 中点为 ，内切球半径为 ，则 共线， 共线， ，且 , ， , , 于是有 ，解得 . 5、 设 为实数，函数 满足：对任意 ，有 .则 的最大值为 . 【答案】 . 6、 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 . 【答案】 【解析】设 取自1,2，…，20，若 互不相邻，则 ， 由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的选法相同，即 种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 . 7、 若实数 满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 . 【解析】令 ， ，此时 ，且条件中等式化为 ，从而 满足方程 . 如图所示， [来源:学科网] 8、 已知数列 共有9项，其中 ，且对每个 ，均有 则这样的数列 的个数为 . 【答案】491 【解析】令 ，则对每个符合条件的数列 有 ，且 . 反之，由符合条件 的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列 . 记符合条件 的数列的个数为 .显然 中有偶数个 ，即 个 ；继而有 个2， 个1.当给定 时， 的取法有 种，易见 的可能值只有0,1,2，所以 . 因此，根据对应原理，符合条件的数列 的个数为491. z学科xx网k 二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答