第06讲 2014年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 若正数 EMBED Equation.KSEE3 ,则 的值为__________. 2. 设集合 中的最大值与最小值分别为 ，则 =_________. 3. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为_______.[来源:学.科.网Z.X.X.K] 4.数列 满足 ，则 =_________. 5.已知正四棱锥 中，侧面是边长为1的正三角形， 分别是边 的中点，则异面直线 与 之间的距离是_____________.[来源:Zxxk.Com] 6.设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的短轴与长轴的比值为__________.[来源:Zxxk.Com] 7.设等边三角形 的内切圆半径为2，圆心为 。若点 满足 ，则 与 的面积之比的最大值为__________ 8.设 是空间四个不共面的点，以 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________.[来源:学科网] 2、 解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.（本题满分16分）平面直角坐标系 中， 是不在 轴上一个动点，满足条件：过 可作抛物线 的两条切线，两切点连线 与 垂直。设直线 与 ， 轴的交点分别为 ， （1） 证明： 是一个顶点. （2） 求 的最小值. 10.（本题满分20分）数列 满足 求正整数 ，使得 11.（本题满分20分）确定所有的复数 ，使得对任意的复数 （ ），均有 EMBED Equation.DSMT4 1、 （本题满分40分）设 ，满足 ， ， 求证： 二、（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC 60°，过点B,C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F,G，设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N，证明：AM=AN.[来源:学科网ZXXK] 三、（本题满分50分）设S={1，2,3，…，100}.求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同. 四、（本题满分50分）设整数 模2014也互不同余.证明：可将 重新排列为 ，使得 模4028互不同余. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.若正数 EMBED Equation.KSEE3 ,则 的值为__________. 【答案】108 2.设集合 中的最大值与最小值分别为 ，则 =_________. 【答案】 【解析】 z学科xx网k 3.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为_______. 【答案】[-2,0]. 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 4.数列 满足 ，则 =_________. 【答案】 . 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5.已知正四棱锥 中，侧面是边长为1的正三角形， 分别是边 的中点，则异面直线 与 之间的距离是_____________. 【答案】 【解析】设底面对角线AC,BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H.由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH与平面POC垂直，故CH⊥PC.因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又CH= EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 z学科xx网k 6.设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的短轴与长轴的比值为__________. 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 7.设等边三角形 的内切圆半径为2，圆心为 。若点 满足 ，则 与 的面积之比的最大值为__________. 【答案】 z学科xx网k EMBED Equation.DSMT4 [来源:学_科_网Z_X_X_K] 8.设 是空间四个不共面的点，以 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 [来源:Z&xx&k.Com] 【解析】每对点之间是否连边有2种可能，共有 种情况,考虑 其中A,B可用折线连接的情况数. 以上三类情况数的总和